2023年中考数学探究性试题复习1 数与式的规律

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 按一定规律排列的一组数据： $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{7}{17}$ ， $\frac{9}{26}$ ， $- \frac{11}{37}$ ， …．则按此规律排列的第10个数是（）

A、 $- \frac{19}{101}$ B、 $\frac{21}{101}$ C、 $- \frac{19}{82}$ D、 $\frac{21}{82}$

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2. 计算3的正数次幂， $3^{1} = 3$ ， $3^{2} = 9$ ， $3^{3} = 27$ ， $3^{4} = 81$ ， $3^{5} = 243$ ， $3^{6} = 729$ ， $3^{7} = 2187$ ， $3^{8} = 6561$ ， ……观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得 $3^{2023}$ 的个位数字是（）

A、1 B、3 C、7 D、9

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3. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 $2^{n}$ 来表示．即： $2^{1} = 2$ ， $2^{2} = 4$ ， $2^{3} = 8$ ， $2^{4} = 16$ ， $2^{5} = 32$ ， $\dots \dots$ ，请你推算 $2^{2023}$ 的个位数字是（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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4. 已知整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4} \dots$ ，满足下列条件： $a_{1} = 0 ， a_{2} = - | a_{1} + 1 | ， a_{3} = - | a_{2} + 2 | ， a_{4} = - | a_{3} + 3 | ⋯$ ，以此类推， $a_{2023}$ 的值为（）

A、-2023 B、-2022 C、-1012 D、-1011

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5. 有一列数，记为 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}$ ，记其前 $n$ 项和为 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ，定义 $T_{n} = \frac{S_{1} + S_{2} + ⋯ + S_{n}}{n}$ 为这列数的“亚运和”，现有 99 个数 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{99}$ ，其“亚运和”为 1000，则 $1 ， a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{99}$ 这 100 个数的“亚运和”为（）

A、791 B、891 C、991 D、1001

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二、填空题

6. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 $O (0 ， 0)$ 按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到 $O_{1} (1 ， 0)$ ，再将 $O_{1} (1 ， 0)$ 绕原点顺时针旋转90°得到 $O_{2} (0 ， - 1)$ ，再将 $O_{2} (0 ， - 1)$ 绕原点顺时针旋转90°得到 $O_{3} (- 1 ， 0)$ …依次类推．点 $(0 ， 1)$ 经过“011011011”变换后得到点的坐标为．

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7. 正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .

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8. 若a是不为2的有理数我们把 $\frac{2}{2 - a}$ 称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是 $\frac{2}{2 - 3} = - 2$ ； $- 2$ 的“哈利数”是 $\frac{2}{2 - (- 2)} = \frac{1}{2}$ ，已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的“哈利数”， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的“哈利数”， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的“哈利数”，以此类推， $a_{2023} =$ ．

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9. 按一定规律排列的一组数据： $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{7}{17}$ ， $\frac{9}{26}$ ， $- \frac{11}{37}$ ， …．则按此规律排列的第10个数是．

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10. 一列数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， ……．满足条件： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，（ $n \geq 2$ ，且n为正整数），则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ ⋯ + a_{2023} =$ ．

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11. 下面是按一定规律排列的代数式： $- a^{2}$ ， $3 a^{4}$ ， $- 5 a^{6}$ ， $7 a^{8}$ ， $- 9 a^{10}$ ， $\dots$ 则第13个代数式是．

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12. 观察下列各等式： $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， …，根据你发现的规律计算： $\frac{2}{1 \times 2} + \frac{2}{2 \times 3} + \frac{2}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{2}{n (n + 1)}$ ＝（n为正整数）．

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13. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ .

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三、综合题

14. 观察以下等式：
第1个等式： $4^{2} - 2^{2} = 3 \times 4$ ；
第2个等式： $6^{2} - 4^{2} = 5 \times 4$ ；
第3个等式： $8^{2} - 6^{2} = 7 \times 4$ ；
第4个等式： $1 0^{2} - 8^{2} = 9 \times 4$ ；
······
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并证明．

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15. 观察以下等式：
第1个等式： $1 \times \frac{1 + 2}{2} - \frac{1}{2} = 1$ ，
第2个等式： $\frac{1}{2} \times \frac{4 + 4}{3} - \frac{1}{3} = 1$ ，
第3个等式： $\frac{1}{3} \times \frac{9 + 6}{4} - \frac{1}{4} = 1$ ，
第4个等式： $\frac{1}{4} \times \frac{16 + 8}{5} - \frac{1}{5} = 1$ ，
第5个等式： $\frac{1}{5} \times \frac{25 + 10}{6} - \frac{1}{6} = 1$ ，
……
按照以上规律．解决下列问题：

(1)、写出第6个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

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16. 观察下列式子：
$① 15 \times 15 = (1 \times 2) \times 100 + 25 ；$
$② 25 \times 25 = (2 \times 3) \times 100 + 25 ；$
$③ 35 \times 35 = (3 \times 4) \times 100 + 25 ；$
···
根据上述规律，回答下列问题：

(1)、请把第4个式子补充完整： $45 \times 45 =$ ；

(2)、通过以上算式，我们发现若用 $(10 a + 5)$ 来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明.

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17. 观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
① $1 \times 2 = \frac{1}{3} (1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2)$
② $2 \times 3 = \frac{1}{3} (2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3)$
③ $3 \times 4 = \frac{1}{3} (3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4)$

(1)、 $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 =$ ；

(2)、 $1 \times 2 + 2 \times 3 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) =$ ；

(3)、 $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) (n + 2) =$ ．

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18. 观察以下等式：
第1个等式： $\frac{2}{3} \times (1 + \frac{1}{2}) = 1$ ，
第2个等式： $\frac{3}{4} \times (1 + \frac{1}{3}) = 1$ ，
第3个等式： $\frac{4}{5} \times (1 + \frac{1}{4}) = 1$ ，
第4个等式： $\frac{5}{6} \times (1 + \frac{1}{5}) = 1$ ， ……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：；

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个 $(n \geq 1)$ 等式（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

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