浙江省温州市2023届高三下学期5月数学第三次适应性考试（三模）试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N ∣ x \leq 5}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 5}$ B、 ${0 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 4 ， 5}$

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2. 已知直线 $l_{1} ： x + y = 0 ， l_{2} ： a x + b y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a + b =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y₁与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y₂与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y₁和y₂分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（）

A、4km B、5km C、6km D、7km

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4. “ $α > \frac{π}{2}$ ”是“ $α - s i n α > \frac{π}{2} - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项为正数， ${b_{n}}$ 满足 $a_{n}^{2} = b_{n} b_{n + 1}$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2 b_{n + 1}$ ，则（）

A、 ${b_{n}}$ 是等差数列 B、 ${b_{n}}$ 是等比数列 C、 ${\sqrt{b_{n}}}$ 是等差数列 D、 ${\sqrt{b_{n}}}$ 是等比数列

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6. 四面体 $O A B C$ 满足 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 9 0^{∘} ， O A = 1 ， O B = 2 ， O C = 3$ ，点 $D$ 在棱 $O C$ 上，且 $O C = 3 O D$ ，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则点 $G$ 到直线 $A D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 如图， $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点， $P$ 是 $⊙ O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上不同于 $A ， B$ 的动点，线段 $P A$ 与椭圆 $C$ 交于点 $Q$ ，若 $t a n ∠ P B A = 3 t a n ∠ Q B A$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = | \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} - a |$ ，存在实数 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + ⋯ + f (x_{n - 1}) = f (x_{n})$ 成立，若正整数 $n$ 的最大值为6，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， \frac{5}{3})$ B、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{5}]$ C、 $[\frac{7}{5} ， \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{5}]$ D、 $[\frac{3}{2} ， \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3} ， - \frac{3}{2}]$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ ，下列命题正确的是（）

A、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、 $z_{1} {\bar{z}}_{1} = {| z_{1} |}^{2}$ D、若 ${z_{1}}^{2} = {\bar{z_{1}}}^{2}$ ，则 $z_{1}$ 为实数

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10. 近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为 $50$ 万人，从该县随机选取 $5000$ 人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下 $5$ 组： $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $⋯$ 、 $[90 ， 100]$ ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分 $X$ （单位：分）近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，且 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9974$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ$ 近似为样本的标准差 $s$ ，并已求得 $s = 12$ .则（）

A、由直方图可估计样本的平均数约为 $74.5$ B、由直方图可估计样本的中位数约为 $75$ C、由正态分布可估计全县 $X \geq 98.5$ 的人数约为 $2.3$ 万人 D、由正态分布可估计全县 $62.5 \leq X < 98.5$ 的人数约为 $40.9$ 万人

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + \frac{1}{4} ， (a < 0)$ ，其中 $A_{i} (x_{i} ， y_{i}) ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3$ 是其图象上四个不重合的点，直线 $A_{0} A_{3}$ 为函数 $f (x)$ 在点 $A_{0}$ 处的切线，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(0 ， \frac{1}{4})$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 的极大值有可能小于零 C、对任意的 $x_{1} > x_{0} > 0$ ，直线 $A_{0} A_{3}$ 的斜率恒大于直线 $A_{0} A_{1}$ 的斜率 D、若 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ 三点共线，则 $x_{1} + x_{2} = 2 x_{0}$ .

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12. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $F ， H$ 为圆柱底面圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的两个三等分点， $E F ， G H$ 为圆柱的母线，点 $P ， Q$ 分别为线段 $A B ， G H$ 上的动点，经过点 $D ， P ， Q$ 的平面 $α$ 与线段 $E F$ 交于点 $R$ ，以下结论正确的是（）

A、 $Q R ∥ P D$ B、若点 $R$ 与点 $F$ 重合，则直线 $P Q$ 过定点 C、若平面 $α$ 与平面 $B C F$ 所成角为 $θ$ ，则 $t a n θ$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、若 $P ， Q$ 分别为线段 $A B ， G H$ 的中点，则平面 $α$ 与圆柱侧面的公共点到平面 $B C F$ 距离的最小值为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = (1 ， 3) ， \vec{A C} = (2 ， 4)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ .

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14. $(x l o g_{4} 3 + \frac{l o g_{3} 2}{x})^{4}$ 展开式的常数项为.（用最简分数表示）

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15. 已知 $△ A B C$ 内有一点 $P$ ，满足 $∠ P A B = ∠ P B C = 3 0^{∘} ， A B = 2 ， s i n ∠ A B C = \frac{3}{5}$ ，则 $P B =$ .

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16. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 $A_{i} =$ “第 $i$ 次命中目标” $(i = 1 ， 2 ， 3)$ ， $P (A_{1}) = \frac{1}{8}$ ， $P (A_{i + 1} ∣ A_{i}) = 2 P (A_{i})$ ， $P (A_{i + 1} ∣ \bar{A_{i}}) = \frac{1}{8} (i = 1 ， 2)$ ，则 $P (A_{3}) =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4})$ 在区间 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上恰有3个零点，其中 $ω$ 为正整数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $F (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ 的单调区间.

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18. 如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{16}$ ，且满足 $D C / / A B$ ， $B C ⊥ B A ， A A_{1} = A_{1} B_{1} = B B_{1} = B C = C D = 1 ， A B = 2 ， E$ 为棱 $A B$ 上的一点，且 $C_{1} E / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ .

(1)、设该棱台的高为 $h$ ，求证： $h = A_{1} E$ ；

(2)、求直线 $C_{1} E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，第二组每道题答对的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.

(1)、记甲同学在一轮比赛答对的题目数为 $X$ ，请写出 $X$ 的分布列，并求 $E (X)$ ；

(2)、若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.

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20. 图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数 $q ， a_{1 ， 1} > 0 ， a_{1.3} = 5 ， a_{2 ， 2} = - 6 ， a_{4 ， 2}^{2} = a_{7 ， 5}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n ， n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = a_{1 ， 1} + a_{2 ， 1} + ⋯ + a_{n ， 1}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使 $a_{n ， 1} \leq λ S_{n}$ 恒成立，若存在，求出 $λ$ 的所有值，若不存在，请说明理由.

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x - 4$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 - a^{2}} = 1 (1 < a < 2)$ 相交于两点 $A ， B ， F$ 是 $C_{2}$ 的右焦点，直线 $A F$ 分别交 $C_{1} ， C_{2}$ 于 $C ， D$ （不同于 $A ， B$ 点），直线 $B C ， B D$ 分别交 $x$ 轴于 $P ， Q$ 两点.

(1)、设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， C (x_{2} ， y_{2})$ ，求证： $y_{1} y_{2}$ 是定值；

(2)、求 $\frac{| F Q |}{| F P |}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{c o s x - x}{x^{2}} ， x \in (0 ， + ∞)$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有且只有一个零点；

(2)、当 $x \in (0 ， π)$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(3)、设 $g_{i} (x) = k_{i} x + b ， i = 1 ， 2$ ，若对任意的 $x \in [\frac{π}{2} ， + ∞) ， g_{1} (x) \leq f (x) \leq g_{2} (x)$ 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求 $k_{1} + k_{2}$ 的最大值.

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