浙江省绍兴市诸暨市2023届高三下学期5月数学联考试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x²－2x－3＜0}，则M∩N＝（）

A、{x|0≤x＜1} B、{x|0≤x＜2} C、{x|0≤x≤1} D、{x|0≤x≤2}

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2. 复数z₁=3+i,z₂=1－i，则z=z₁·z₂在复平面内的对应点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内恰有一个极值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3} ， \frac{8}{3}]$ B、 $[\frac{1}{6} ， \frac{5}{6})$ C、 $(\frac{2}{3} ， \frac{5}{6}]$ D、 $[\frac{1}{6} ， \frac{8}{3})$

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4. 马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为 $4 c m$ 的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为 $S = 2 π R h$ ，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）

A、 $36 π$ B、 $40 π$ C、 $44 π$ D、 $60 π$

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5. 已知点 $A (- 2 ， 0) ， B ， C$ 分别为直线 $y = m x ， y = n (m ， n \in R ， m n \neq 0)$ 上的动点，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为（）

A、 $n^{2}$ B、 $m n$ C、 $\frac{4 m^{2}}{m^{2} + 1}$ D、 $\frac{4 m n}{m n + 1}$

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6. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，若 $f (2) = 0$ ，则 $y = f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - \frac{\sqrt{105}}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$ ，圆心为 $C_{2} (- 2 ， 0) ， C_{3} (4 ， 0)$ 的圆分别与圆 $C_{1}$ 相切.圆 $C_{2} ， C_{3}$ 的公切线（倾斜角为钝角）交圆 $C_{1}$ 于 $A ， B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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8. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x) ， g (x)$ 满足 $f (1) > \frac{1}{2} ， f (2) < \frac{1}{2}$ ，且对于任意 $s ， t$ 均有 $2 f (s) g (t) = g (s + t) - g (s - t) ， 2 g (s) g (t) = f (s - t) - f (s + t)$ ，则（）

A、 $f (0) + g (0) > 1$ B、 $\frac{1}{2} < f (- 1) - g (- 1) < 1$ C、 $f (1) f (2) < g (1) g (2)$ D、 $f (1) f (2) + g (1) g (2) > 1$

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二、多选题

9. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是 $P_{n} = P_{0} (1 + k)^{n} (k > - 1)$ ，其中 $P_{n}$ 为预测期人口数， $P_{0}$ 为初期人口数， $k$ 为预测期内人口年增长率， $n$ 为预测期间隔年数，则（）

A、当 $k \in (- 1 ， 0)$ ，则这期间人口数呈下降趋势 B、当 $k \in (- 1 ， 0)$ ，则这期间人口数呈摆动变化 C、当 $k = \frac{1}{3} ， P_{n} \geq 2 P_{0}$ 时， $n$ 的最小值为3 D、当 $k = - \frac{1}{3} ， P_{n} \leq \frac{1}{2} P_{0}$ 时， $n$ 的最小值为3

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10. 一个袋子中有编号分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件 $A$ ， “第二次摸到的球的编号为奇数”为事件 $B$ ， “两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (C) = \frac{5}{16}$ B、事件 $B$ 与事件 $C$ 相互独立 C、 $P (C ∣ A) = \frac{1}{2}$ D、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 (a \neq 0)$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $a = 1 ， y = f (x)$ 与 $y = 1 - x^{2}$ 图象至多有2个公共点 B、若 $a = 1 ， y = | f (x) |$ 与 $y = | 1 - x^{2} |$ 图象至少有2个公共点 C、若 $b = 1 ， y = f (x)$ 与 $y = 1 + \frac{1}{2} x$ 图象至多有2个公共点 D、若 $b = 1 ， y = | f (x) |$ 与 $y = | 1 + \frac{1}{2} x |$ 图象至少有2个公共点

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12. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左焦点 $F$ 的直线交 $C$ 的左､右支分别于 $A ， B$ 两点，交直线 $x = - 1$ 于点 $P$ ，若 $9 \vec{A F} = \vec{B F}$ ，则（）

A、 $| A B | = 2 \sqrt{2} | F P |$ B、 $4 | A F | = 5 | A P |$ C、 $\frac{| A F |}{| B F |} = \frac{| A P |}{| B P |}$ D、 $\frac{1}{| A P |} - \frac{1}{| A F |} = \frac{2}{| A B |}$

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三、填空题

13. 过点 $(- \frac{2}{3} ， 0)$ 作曲线 $y = x^{3}$ 的切线，写出一条切线方程：.

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B ， O$ 为坐标原点，椭圆上的点 $M (x_{M} ， y_{M}) ， N (x_{N} ， y_{N})$ 分别在第一､二象限内，若 $△ O A N$ 与 $△ O B M$ 的面积相等，且 $x_{M}^{2} + x_{N}^{2} = 4 b^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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15. 已知 $a < 0$ ，则 ${(x^{2} + a)}^{4} {(1 - \frac{1}{x})}^{3}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数的最大值为.

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4 ， E ， F$ 分别为 $A D ， B_{1} C_{1}$ 上的点， $A E = C_{1} F = 1$ ， $P ， Q$ 分别为 $B B_{1} ， C_{1} D_{1}$ 上的动点.若点 $A ， B ， P ， Q$ 在同一球面上，当 $P Q ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ 时，该球的表面积为.

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $s i n C = \sqrt{3} s i n A s i n B$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $t a n B$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为 $6 ， D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 上一点，

(1)、若 $C E = 2$ ，证明： $D C$ $∥$ 平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、当直线 $B D$ 与平面 $B_{1} E D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求 $C E$ 的长度.

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19. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投中的概率均为0.5.
附：若 $n$ 表示投篮的次数， $ξ$ 表示投中的次数，则投中的频率为 $\frac{ξ}{n}$ ；若 $η \sim N (0 ， 1)$ ，则 $P (η < 1.28) = 0.9 ， P (η < 1.645) = 0.95$ .

(1)、若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记 $X$ 为三次总得分，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、已知当随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (n ， p)$ 时，若 $n$ 充分大，则随机变量 $η = \frac{ξ - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}$ 服从标准正态分布 $N (0 ， 1)$ .若保证投中的频率在0.4与0.6之间的概率不低于 $90 %$ ，求该同学至少要投多少次.

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20. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1 ， a_{n + 1} = b_{n} + 2 ， b_{n + 1} = 2 a_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， & a_{n} \leq b_{n} ， \\ b_{n} ， & a_{n} > b_{n} . \end{array}$ 求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $y$ 轴上点 $P$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相切于点 $Q$ ，且当 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ 时， $| P Q | = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $P$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，若 $R$ 为线段 $M N$ 的中点，证明：直线 $Q R$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x} + \sqrt{x + 1 - b} ， g (x) = 1 - c o s x - \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、若 $a = e - 1 ， b = \frac{7}{4}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $g (x) \leq 0$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{2} c o s \sqrt{2 b}$ ，证明： $f (x) \leq 0$ .

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