浙江省绍兴市嵊州市2023届高三下学期5月高考数学科目适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ y = \sqrt{1 - x}} ， N = {x ∣ 0 < x < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ x < 2}$ D、 ${x ∣ x > 0}$

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2. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，若点 $P (1 ， m)$ 在抛物线上，且 $| P F | = 3$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是线段 $B C$ 上一点，满足 $B D = 2 D C ， M$ 是线段 $A D$ 的中点，设 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则（）

A、 $x - y = - \frac{1}{2}$ B、 $x + y = - \frac{1}{2}$ C、 $x - y = \frac{1}{2}$ D、 $x + y = \frac{1}{2}$

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4. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ （其中 $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ 是自然对数的底数）描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间 $t$ （单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ， $T$ 近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ .有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.28$ ， $T = 6$ ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 $1$ 倍需要的时间约为（）（参考数据： $l n 2 = 0.69$ ， $l n 3 = 1.1$ ）

A、 $1.2$ 天 B、 $1.8$ 天 C、 $2.9$ 天 D、 $3.6$ 天

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5. 设函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $\frac{π}{3} < T < \frac{π}{2}$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，则（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ 上是减函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上有且仅有两个极值点

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 l n x + 1 ， x \geq 1 \\ 2 x - 1 ， x < 1 \end{array}$ ，若 $p \neq q$ ，且 $f (p) + f (q) = 2$ ，则 $p + q$ 的最小值是（）

A、 $2 - 2 l n 2$ B、 $3 - 2 l n 2$ C、 $4 - 2 l n 3$ D、2

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + x$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，若过两点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $y = f (x)$ 上，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{2}$ ， $B C = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，若将 $△ B C D$ 沿着直线 $B D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ ，使得四面体 $C^{'} - A B D$ 的外接球半径为 $1$ ，则直线 $B C^{'}$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 给出以下四个说法，正确的有（）

A、如果由一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 得到的经验回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，那么经验回归直线至少经过点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 中的一个 B、在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C、在回归分析中，用决定系数 $R^{2}$ 来比较两个模型拟合效果， $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 D、设两个变量 $x ， y$ 之间的线性相关系数为 $r$ ，则 $| r | = 1$ 的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1 ， M ， N$ 分别是棱 $B C ， C_{1} D_{1}$ 的中点， $E$ 是棱 $A B$ 上的一动点，则（）

A、存在点 $E$ ，使得 $A_{1} E ∥ M N$ B、对任意的点 $E ， N E ⊥ B_{1} C$ C、存在点 $E$ ，使得直线 $N E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小是 $\frac{π}{6}$ D、对任意的点 $E$ ，三棱锥 $C_{1} - E M N$ 的体积是定值

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11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究士星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $P (x ， y)$ 到 $A (- 1 ， 0)$ 与 $B (1 ， 0)$ 两点的距离之积为2的点的轨迹为曲线 $C$ ，则（）

A、 $| x | ⩽ 1$ B、曲线关于原点对称 C、曲线围成的面积不大于7 D、曲线C上任意两点之间的距离不大于3

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12. 已知 $x ， y \in R$ ，若 $x \cdot (e^{x} + l n x + x) = 1 ， y \cdot [2 l n y + l n (l n y)] = 1$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ 是自然对数的底数，则（）

A、 $0 < x < 1$ B、 $x y = 2$ C、 $y - x > 1$ D、 $y - x < \frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $a ， b \in R$ ，若 $1 + i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，其中 $i$ 是虚数单位，则 $a + b =$ .

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14. 已知 $(x + \frac{1}{x}) (a x + 1)^{5}$ 的所有项的系数的和为64，展开式中 $x^{3}$ 项的系数为.

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15. 已知圆 $C_{1} ： (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ 在椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的内部， $A$ 为 $C_{2}$ 上的一个动点，过 $A$ 作 $C_{1}$ 的一条切线，交 $C_{2}$ 于另一点 $B$ ，切点为 $D$ ，若当 $D$ 为 $A B$ 的中点时，直线 $C_{1} D$ 的倾斜角恰好为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该椭圆 $C_{2}$ 的离心率 $e =$ .

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16. 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列 $1 ， 2 ， 2$ ：第三行得到数列 $1 ， 2 ， 2 ， 4 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot$ ，则第5行从左数起第8个数的值为； $A_{n}$ 表示第 $n$ 行所有项的乘积，设 $B_{n} = l o g_{2} A_{n}$ ，则 $B_{7} =$ .

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四、解答题

17. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3} ， A B = B C = 2 ， A A_{1} = 3 ， E$ 在棱 $B C$ 上，满足 $B E ： E C = 1 ： 2 ， F$ 在棱 $A A_{1}$ 上，满足 $\vec{A F} = λ \vec{A A_{1}}$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，证明： $A E$ $/ /$ 平面 $B C_{1} F$ ；

(2)、若平面 $B C_{1} F$ 与平面 $A B C D$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ ，求 $λ$ 的值.

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，且满足 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{a + 2 b}{c}$ 的取值范围.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $A_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $A_{5} = 15$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot [1 + {(- 1)}^{n} n] (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $B_{n}$ ，集合 $P = {n | n \leq 100$ 且 $B_{n} \leq 100 ， n \in N^{*}}$ ，求 $P$ 中所有元素的和 $S$ .

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20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第 $1$ 次答题，答对得 $20$ 分，答错得 $10$ 分：从第 $2$ 次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得 $10$ 分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\frac{4}{5}$ ，各次答题结果互不影响.

(1)、求甲同学前 $3$ 次答题得分之和为 $70$ 分的概率；

(2)、在甲同学完成 $5$ 次答题，且第 $2$ 次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于 $90$ 分的概率；

(3)、记甲同学第 $i$ 次答题所得分数 $X_{i} (i \in N^{*})$ 的数学期望为 $E (X_{i})$ ，求 $E (X_{1})$ ，并写出 $E (X_{i})$ 与 $E (X_{i + 1})$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.

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21. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，直线 $A M ， B M$ 相交于 $M$ ，且直线 $A M ， B M$ 的斜率之积为2.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设 $P ， Q$ 是点 $M$ 轨迹上不同的两点且都在 $y$ 轴的右侧，直线 $A P ， B Q$ 在 $y$ 轴上的截距之比为 $1 ： 2$ ，求证：直线 $P Q$ 经过一个定点，并求出该定点坐标.

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22. 已知过点 $P (a ， b)$ 可以作曲线 $f (x) = e^{x} + k x (k \in R)$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，线段 $A B$ 的中点坐标为 $(x_{0} ， y_{0})$ ，其中 $e = 2.71828 \dots \dots$ 是自然对数的底数.

(1)、若 $a = 0$ ，证明： $0 < b < 1$ ；

(2)、若 $k < 0$ ，证明： $(x_{0} - a) (y_{0} - b) < 0$

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