浙江省绍兴市上虞区2023届高三数学第二次适应性考试（二模）试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x + 3}} ， B = {x ∣ \frac{x - 3}{x - 1} < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， + ∞)$ C、 $(- 3 ， 3)$ D、 $[- 3 ， 3)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (\sqrt{3} - i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ A C ， A B = 2 ， A C = 1$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量的模为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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4. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) ， (A > 0 ， ω > 0)$ 在区间 $(0 ， 6)$ 内取得一个最大值 $3$ 和一个最小值 $- 3$ ，且 $f (2) = 3 ， f (5) = - 3$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为 $V = \frac{2}{3} r^{3}$ （ $r$ 为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的 $\frac{1}{8}$ 部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3}$

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6. 已知直线 $x + y = a (a > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ､ B$ 两点，若 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，其中 $O$ 为原点，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 已知正数 $a ， b ， c$ 满足 $e^{a} = b = l n c ， e$ 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + c < 2 b$ B、 $a + c > 2 b$ C、 $a c < b^{2}$ D、 $a c > b^{2}$

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8. 如图， $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D ， A D ⊥ D C ， A D = 3 ， C D = \sqrt{3} ， A B = 2 \sqrt{3}$ .连 $A C$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折成三棱锥 $D - A B C$ ，当三棱锥 $D - A B C$ 外接球表面积的最小值时，二面角 $D - A C - B$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多选题

9. 记正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列数列为等比数列的有（）

A、 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ B、 ${a_{n + 1} a_{n}}$ C、 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ D、 ${S_{n} S_{n + 1}}$

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10. 某学校一同学研究温差 $x (^{o} C)$ 与本校当天新增感冒人数 $y$ （人）的关系，该同学记录了5天的数据：
$x$
5
6
8
9
12
$y$
17
20
25
28
35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 $\hat{y} = 2.6 x + \hat{a}$ ，则（）

A、样本中心点为 $(8 ， 25)$ B、 $\hat{a} = 4.2$ C、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.2$ D、若去掉样本点 $(8 ， 25)$ ，则样本的相关系数 $r$ 增大

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11. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x + ⋯$ ，记 $f_{n} (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + ⋯ + \frac{1}{n} s i n n x$ ， $n \in N^{*}$ 则下列结论中正确的为（）

A、 $f_{2} (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 B、 $f_{2} (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $f_{n} (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $| f_{n} (x) | \leq | n x |$

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12. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上一点，点 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} M F_{2}$ 平分线的对称点 $N$ 也在椭圆 $E$ 上，若 $c o s ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ，则（）

A、 $△ F_{1} M N$ 的周长为 $4 a$ B、 $\frac{| M F_{2} |}{| N F_{2} |} = \frac{1}{2}$ C、 $∠ F_{1} M F_{2}$ 平分线的斜率为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为.

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14. 已知 $(2 x^{3} + \frac{1}{x})^{n}$ 的展开式的常数项是第7项，则 $n =$ .

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15. 已知函数 $y = f (2 x + 1)$ 为偶函数，且 $f (x) + f (- x) = 2$ ，则 $f (2022) + f (2024) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有零点，则 $a b$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\sqrt{2 S_{n} - n}}$ 是首项为1，公差为1的等差数列，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{2^{n}}$ ，求数列 ${(- 1)^{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在多面体 $A B C D E$ 中， $D E ⊥$ 平面 $B C D ， △ A B C$ 为正三角形， $△ B C D$ 为等腰Rt $△ ， ∠ B D C = 9 0^{∘} ， A B = 2 ， D E = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $A E ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A E$ $/ /$ 平面 $B C D$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A B C$ 所成的线面角的正弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 (b^{2} - a^{2}) + c^{2} = 0$ .

(1)、求 $\frac{s i n A c o s B}{c o s A s i n B}$ 的值；

(2)、求 $A - B$ 的最大值.

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20. 某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在 $[15 ， 65]$ 周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545 ， P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$

(1)、根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第 $85 %$ 分位数（小数点后保留2位）；

(2)、若所有用户年龄 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 为样本平均数的估计值， $σ \approx 10.5$ ，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；

(3)、用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用 $P (X = k)$ 表示这8名用户中恰有 $k$ 名用户的年龄在区间 $[25 ， 35)$ 岁的概率，求 $P (X = k)$ 取最大值时对应的 $k$ 的值；

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 斜率为1的直线与抛物线相交所截得的弦长为2.

(1)、求 $p$ 的值并写出抛物线焦点 $F$ 的坐标；

(2)、设点 $P$ 是抛物线外任意一点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的切线，切点分别为 $Q ､ R$ ，探究：是否存在以点 $Q$ 为直角顶点的等腰直角三角形 $P Q R$ .若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{1}{2} a x^{2} ， g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - a x e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、设 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，当 $0 < a < 1$ 时，
①证明：函数 $F (x)$ 恰有两个零点；
②若 $x_{0}$ 为函数 $F (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为函数 $F (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明： $2 x_{0} > x_{1}$ .

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$x$	5	6	8	9	12
$y$	17	20	25	28	35