浙江省绍兴市柯桥区2023届高三5月高考数学及选考科目适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | 2 x < 1}$ ， $B = {x | | x - 1 | \geq 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | x \leq - 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x \geq \frac{1}{2}}$ D、 ${x | x \geq 3}$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \vec{D A}$ ， $\vec{D E} = \vec{E C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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3. 欧拉公式 $e^{x i} = c o s x + i s i n x$ （i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（）

A、复数 $\frac{e^{\frac{π}{2} i}}{1 + i}$ 的虚部为 $\frac{1}{2}$ B、若 $x \in (\frac{5 π}{2} ， 3 π)$ ，则复数 $e^{x i}$ 对应点位于第二象限 C、复数 $i \cdot e^{x i}$ 的模长等于1 D、复数 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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4. “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， $A A_{1} ⊥$ 面ABCD， $A A_{1} = 4$ ，底面扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ， $\overset{⌢}{A D}$ 的长度是 $\overset{⌢}{B C}$ 长度的2倍， $C D = 1$ ，则异面直线 $A_{1} D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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5. 6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为（）

A、 $\frac{20}{31}$ B、 $\frac{10}{31}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{5}{8}$

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6. 若函数 $g (x)$ 的周期为 $π$ ，其图象由函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到，则 $g (x)$ 的一个单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ B、 $[- \frac{4 π}{3} ， - \frac{π}{3}]$ C、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[- \frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$

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7. 已知 $a = \frac{2}{5}$ ， $b = s i n 1$ ， $c = l n \frac{5}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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8. 如图，平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $△ A C D$ 为正三角形，以AC为折痕将 $△ A C D$ 折起，使D点达到P点位置，且二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，当三棱锥 $P - A B C$ 的体积取得最大值，且最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\sqrt{6} π$

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二、多选题

9. 设随机变量 $X \sim N (0 ， 2^{2})$ ，随机变量 $Y \sim N (0 ， 3^{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = E (Y)$ B、 $D (X) = 2$ ， $D (Y) = 3$ C、 $P (X \leq - 2) + P (X \leq 2) = 1$ D、 $P (| X | \leq 1) < P (| Y | \leq 1)$

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10. 已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（）

A、当 $n = 4$ 时， $R = \sqrt{2} a$ B、当 $n = 6$ 时， $r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ C、 $R = \frac{a}{2 s i n \frac{π}{2 n}}$ D、 $R + r = \frac{a}{2 t a n \frac{π}{2 n}}$

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11. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，过点 $Q (\frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ 作双曲线的切线交双曲线于点 $P$ （ $P$ 在第一象限），点 $M$ 在 $F_{1} P$ 延长线上，则下列说法正确的是（）

A、 $k_{O P} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $| \vec{P F_{1}} | = \frac{3}{2} | \vec{P F_{2}} |$ C、 $P Q$ 为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线 D、 $∠ F_{2} P M$ 的角平分线所在直线的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$

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12. 若函数 $g (x)$ 为函数 $f^{'} (x)$ 的导函数，且对于任意实数 $x_{0}$ ，均有 $2 f^{'} (x_{0}) = f (x_{0}) + g (x_{0})$ ，且 $g (x_{0}) > f (x_{0})$ ，则（）

A、函数 $y = g (x)$ 不可能为奇函数 B、存在实数M，使得 $f (x) \leq M$ C、存在实数N，使得 $f (x) \geq N$ D、函数 $y = f (x)$ 不存在零点

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三、填空题

13. 现有如下10个数据：
296 301 305 293 293 305 302 303 306 294
则这批数据的第一四分位数为．

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14. ${(x^{2} + 2 y + x)}^{6}$ 展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为．

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15. 若函数 $f (x) = l o g_{2} | a + x |$ 的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．

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16. 函数 $f (x) = \sqrt{4 x^{4} - 3 x^{2} - 4 x + 5} - \sqrt{4 x^{4} - 15 x^{2} + 2 x + 17}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，且 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，当 $n > 1$ 时，满足 $2 b_{n} a_{n - 1} = b_{n - 1} a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求 $T_{n}$ ．

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18. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 中三内角A，B，C的对边，且 $b = 1$ ， $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = 1 + c$ ， D为直线BC上一动点．

(1)、求A；

(2)、在① $c = 3$ ， ② $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， ③ $s i n B = \frac{\sqrt{21}}{14}$ 这三个条件中任选一个，求线段AD长度的最小值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形， $∠ P A B = ∠ P C D = \frac{π}{2}$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B = 2$ ，且二面角 $P - C D - A$ 的大小是 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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20. 如图，是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入编号为 $ξ$ 的球槽内．用X表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为 $0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 6$ ），用Y表示小球最后落入球槽的号码．

(1)、若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第3个空隙处的概率；

(2)、若放入80个小球，求落入1号球槽的小球个数Z的均值与方差．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且经过点 $E (1 ， \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点 $T (1 ， 1)$ ，满足 $\frac{| M T |}{| T Q |} = \frac{| N T |}{| T P |} = 3$ ，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} (l n x - \frac{3}{2} a)$ ， a为实数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极值， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $2 < x_{1} + x_{2} < e$

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