浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} < 9} ， B = {x ∣ - 1 < x \leq 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 5}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ D、 ${x ∣ - 3 < x \leq 5}$

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2. 若 $| z | = 4$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、32 B、16 C、4 D、2

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3. 在 $△ A B C$ 中，“ $A = 30 °$ ”是“ $s i n A = \frac{1}{2}$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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4. 如图所示，F为平行四边形 $A B C D$ 对角线BD上一点， $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{F D}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A D}$

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5. 已知 $s i n (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (\frac{7 π}{6} - α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 1)$ ，向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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7. 如图扇形 $A B C$ ，圆心角 $A = 90 °$ ， D为半径 $A B$ 中点， $C B ， C D$ 把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积 $V_{1} ， V_{2} ， V_{3}$ 之比是（）

A、 $1 ： 2 ： 2$ B、 $1 ： 2 ： 3$ C、 $1 ： 3 ： 3$ D、 $1 ： 3 ： 4$

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8. 已知平面向量 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $| \vec{c} - λ \vec{a} |$ 的最小值与 $| \vec{c} - μ \vec{b} |$ 的最小值乘积为2（ $λ ， μ$ 为实数），则 $| \vec{c} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ 2^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，则下列判断错误的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的图像与直线 $y = 1$ 有两个交点 C、 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上是减函数

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10. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、函数 $f (x)$ 的绝对值最小的零点为 $- \frac{π}{3}$ C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 在 $(2 π ， \frac{7}{3} π)$ 上单调递增

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11. 如图在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A D ， A A_{1}$ 中点，P在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上（包括边界），且满足三棱锥 $P - B E F$ 的体积等于9，则 $P C_{1}$ 的长度可以是（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、10 D、 $6 \sqrt{3}$

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12. 无字证明来源于《几何原本》第二卷的几何代数法（用几何方法研究代数问题），很多代数的公式或定理都能仅通过图形得以证明、如图，在 $△ A B C$ 中， $D ， E$ 为BC边上异于端点的两点， $B D = a ， E C = c$ ，且 $△ A D E$ 是边长为b的正三角形，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\sqrt{a^{2} + a c + c^{2}} - \sqrt{b^{2} + b c + c^{2}} > a + b + c$ B、 $\sqrt{a^{2} + a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + b c + c^{2}} > a + b + c$ C、 $\sqrt{a^{2} + a b + b^{2}} - \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} < a + b - c$ D、 $\sqrt{b^{2} + b c + c^{2}} - \sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} < a - b + c$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = | x - 1 | - x$ 的零点是

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14. 已知复数 $z = \frac{i}{i - 1}$ （i为虚数单位），则z的虚部为.

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15. 平面直角坐标系xOy中线段OA的长为 $\sqrt{5}$ ，与x轴所成的夹角为 $α$ ，且 $t a n α = 2$ ，在斜二测画法下 $(∠ x^{'} o y^{'} = 45 °)$ ，其直观图为线段 $O^{'} A^{'}$ ，则线段 $O^{'} A^{'}$ 的长度为．

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16. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， D为边BC上一点，且 $A D = 2 ， B D ： D C = 4 c ： b$ ，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{c}$ 的值为．

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四、解答题

17.

(1)、已知 $t a n α = 2$ ，求 $\frac{3 s i n α - 4 c o s α}{c o s α + 2 s i n α}$ 的值；

(2)、计算： $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} + l g \sqrt{2} + \frac{1}{2} l g 5 - 2^{\frac{1}{2} l o g_{2} 3}$ ．

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18. 已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ （i为虚数单位）和 $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 2 x + p = 0 (p \in R)$ 两根，

(1)、求p和 $z_{2}$ ；

(2)、若 $z_{2}$ 对应复平面内的点A，且 $△ O A B$ 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数 $z_{3}$ ．

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19. 如图，为了测量两山顶 $M ， N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A ， B$ 两点进行测量， $A ， B ， M ， N$ 在同一个铅垂平面内，在A点测得 $M ， N$ 的俯角分别为 $α_{1} = 75 ° ， β_{1} = 30 °$ ，在B点测得 $M ， N$ 的俯角分别为 $α_{2} = 45 ° ， β_{2} = 60 °$ ，同时测得 $A B = 10 \sqrt{6} k m$ ．

(1)、求BN和AM的长度；

(2)、求 $M ， N$ 之间的距离．

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20. 如图，在三棱推 $P - A B C$ 中，高 $P C = 4$ （ $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ）， $A B = B C = 3 ， ∠ A B C = 120 °$ ．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；

(2)、求三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积．

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21. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{1 - s i n A}{c o s A} = \frac{1 - c o s 2 B}{s i n 2 B}$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；

(2)、求 $\frac{4 a^{2} + 5 b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值．

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22. 如图， $△ A B C$ 中 $A B = 1 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 60 °$ ， AD为BC边上的中线，点E，F分别为边 $A B ， A C$ 上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．

(1)、已知 $A F = 2$ ，请用 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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