浙江省临海、新昌两地2023届高三下学期5月数学适应性考试（二模）试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，若 $M = {x | x \in A$ 且 $x \notin B}$ ，则 $M =$ （）．

A、 ${1}$ B、 ${3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${x | x > 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{| 3 + 4 i |}{1 - 2 i}$ （i是虚数单位），则z的虚部为（）．

A、2 B、-2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知直线 $l$ ，平面 $α$ ，满足 $l ⊄ α$ ，则下列命题一定正确的是（）．

A、存在直线 $m \subset α$ ，使 $l ∥ m$ B、存在直线 $m \subset α$ ，使 $l ⊥ m$ C、存在直线 $m \subset α$ ，使l，m相交 D、存在直线 $m \subset α$ ，使l，m所成角为 $\frac{π}{6}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x) = f (x + 1)$ ，则 $f (x)$ 可能是（）．

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = l o g_{2} x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \notin Q \end{array}$

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5. 在某次考试中，多项选择题的给分标准如下：在每题给出的四个选项中，正确选项为其中的两项或三项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下，分别选了 $A$ ， $A B$ ， $A B C$ ，则三人该题得分的数学期望分别为（）．

A、 $1 ， 0.8 ， 0.5$ B、 $1.2 ， 0.8 ， 0.6$ C、 $1 ， 0.9 ， 0.6$ D、 $1.2 ， 0.9 ， 0.5$

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 是单调函数，且 $f (- π) = f (0) = - f (\frac{π}{2})$ ，则 $ω$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$ 或2

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7. 已知三棱锥 $P - A B C$ ，底面 $A B C$ 是边长为 $3 \sqrt{7}$ 的正三角形，顶点P到底面 $A B C$ 的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱 $P A$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值的取值范围为（）．

A、 $[\frac{5 - \sqrt{21}}{2} ， \frac{5 + \sqrt{21}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{21} - 3}{6} ， \frac{\sqrt{21} + 3}{6}]$ C、 $[\frac{\sqrt{21} - 3}{6} ， \frac{5 + \sqrt{21}}{2}]$ D、 $[\frac{5 - \sqrt{21}}{2} ， \frac{\sqrt{21} + 3}{6}]$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ， $g (x) = s i n x$ ， $a > b \geq 1$ ， $c > d > 0$ ，若 $f (a) - f (b) = π$ ， $g (c) - g (d) = \frac{π}{10}$ ，则（）．

A、 $a + d - b - c > \frac{9 π}{10}$ B、 $a + d - b - c < \frac{9 π}{10}$ C、 $a + c - b - d > \frac{11 π}{10}$ D、 $a + c - b - d < \frac{11 π}{10}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则以下结论正确的是（）．

A、若 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ，则 $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ C、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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10. 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数 $f (x) = \frac{π}{2} - \frac{4}{π} [c o s x + \frac{c o s 3 x}{3^{2}} + ⋯ + \frac{c o s (2 n - 1) x}{{(2 n - 1)}^{2}} + ⋯]$ ，当 $x \in [0 ， π]$ 时，有 $f (x) = x$ ，则（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、点 $(\frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 C、 $f (\frac{15 π}{4}) = \frac{π}{4}$ D、 $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + ⋯ + \frac{1}{{(2 n - 1)}^{2}} + ⋯ = \frac{π^{2}}{8}$

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11. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，平面 $α$ 与对角线 $A C^{'}$ 垂直，则（）．

A、正方体的每条棱所在直线与平面 $α$ 所成角均相等 B、平面 $α$ 截正方体所得截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、直线 $B C$ 与平面 $α$ 内任一直线所成角的正弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、当平面 $α$ 与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前n项和是 $S_{n}$ ，满足 $a_{5} + a_{6} = 2 e^{a_{4}}$ ，则（）．

A、 $a_{1}$ 的最小值为 $- 3$ B、 $d \geq \frac{2}{3}$ C、满足 $a_{n} \leq 0$ 的n的最大值为4 D、 $S_{5} < 0$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）.

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14. 求圆的切点弦方程可利用“同构”思想．如“已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，过 $P (- 2 ， - 2)$ 作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线 $A B$ 方程”，部分解答如下：设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，由 $\vec{P A} \cdot \vec{O A} = 0$ ，化简可得 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2 x_{1} + 2 y_{1} = 0$ ，又因为 $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1$ ，所以 $2 x_{1} + 2 y_{1} + 1 = 0$ ，同理可得 $2 x_{2} + 2 y_{2} + 1 = 0$ ， …．则直线 $A B$ 的方程为．

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15. 若曲线 $y = | x - e l n x | + x$ 有两条过点 $(1 ， a)$ 的切线，则实数a的取值范围是．

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16. 已知点A，B为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的两个动点，点O为坐标原点，直线 $O A$ 与 $O B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ， x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段 $A B$ 上的任意点P，都有 $| P M | + | P N |$ 的最小值为定值，则此定值为．

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四、解答题

17. 如图，已知 $△ A B C$ 的面积为1，点D，E，F分别为线段 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的中点，记 $△ D E F$ 的面积为 $a_{1}$ ；点G，H，I分别为线段 $A D$ ， $A E$ ， $D E$ 的中点，记 $△ G H I$ 的面积为 $a_{2}$ ；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${{(- 1)}^{n} b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 第22届国际足联世界杯于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内举行，并引起了一股风靡全球的足球热．为合理开展足球课程，某中学随机抽取了60名男生和40名女生进行调查，结果如下：回答“不喜欢”的人数占总人数的

\frac{2}{5}

，在回答“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的

\frac{1}{3}

．

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并据此判断是否有99.9％的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关？

性别	对足球的喜爱情况		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
女生
男生
合计

(2)、将上述调查的男、女生各自喜欢足球的比例视为概率．现对该校中的某班学生进行调查，发现该班学生喜欢足球的人数占班级总人数的

\frac{33}{56}

，试估计该班女生所占的比例．

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19. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sqrt{3} a c o s \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围．

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20. 如图，在正四棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 2 A^{^{'}} B^{^{'}}$ ，点P为棱 $C C^{'}$ 上一点．

(1)、记棱锥 $P - B C D$ ，棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，当 $P C = P C^{'}$ 时，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ；

(2)、若正四棱台的侧棱与底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，当平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $P B D$ 时，求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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21. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右顶点分别为A，B，过点 $(2 ， 0)$ 的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与y轴交于M，N两点．

(1)、记直线 $A P$ ， $Q B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ ；

(2)、记 $△ A P Q$ ， $△ A M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $S_{1} = 9 S_{2}$ 时，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x l n x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、求证： $f (x) + x^{2} f (\frac{1}{x}) = 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ．
（ⅰ）求a的取值范围；

（ⅱ）求证： $x_{1} + x_{3} > 2 a - 2$ ．

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