浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次数学联考试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ l o g_{2} x < 2} ， B = {x ∣ x^{2} < 9}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) (z - 2 i) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $\pm \sqrt{6} i$ B、 $\pm \sqrt{2} i$ C、 $2 i$ D、 $\pm \sqrt{6}$

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3. 提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为

a + b \times 2^{n - 1}

，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（）

行星	金星	地球	火星	谷神星	木星	土星	天王星	海王星
编号	1	2	3	4	5	6	7	8
公式推得值	0.7	1	1.6	2.8	5.2	10	19.6	38.8
实测值	0.72	1	1.52	2.9	5.2	9.54	19.18	30.06

A、

(30 ， 50)

B、

(50 ， 60)

C、

(60 ， 70)

D、

(70 ， 80)

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4. 已知直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y - 6 = 0$ 和直线 $l_{2} ： y = - 2$ ，拋物线 $x^{2} = 4 y$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{11}{5}$ D、 $\frac{37}{16}$

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5. 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点 $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，记 $∠ C O B = θ$ ，则由 $t a n ∠ B C H = \frac{B H}{C H}$ 可以直接证明的三角函数公式是（）

A、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 - c o s θ}$ B、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 + c o s θ}$ C、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{s i n θ}$ D、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{1 + c o s θ}{s i n θ}$

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6. 在三角形 $A B C$ 中， $A B = 7 ， B C = 8 ， A C = 9 ， A M$ 和 $A N$ 分别是 $B C$ 边上的高和中线，则 $\vec{M N} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、14 B、15 C、16 D、17

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中，角 $A = \frac{π}{6} ， A B = \sqrt{3} ， A D = 1$ ，将三角形 $A B D$ 沿 $B D$ 翻折到三角形 $A^{'} B D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ .记线段 $A^{'} C$ 的中点为 $M$ ，那么直线 $A^{'} D$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 设正数 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4$ ，当 $i ， j \in {1 ， 2 ， 3} ， i \neq j$ 时，恒有 $2 x_{i}^{2} + 2 x_{j}^{2} - 5 x_{i} x_{j} \leq 0$ ，则乘积 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{50}{27}$ B、2 C、 $\frac{64}{27}$ D、 $\frac{256}{125}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (x + φ) - s i n (x + 7 φ)$ 为奇函数，则参数 $φ$ 的可能值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10. 某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（）

A、样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3 B、样本中消费支出不少于40元的人数为132 C、n的值为200 D、若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间

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11. 设点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，圆 $Γ$ 方程为 ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = 1$ ，直线 $l$ 方程为 $y = k x$ .则（）

A、对任意实数 $k$ 和点 $P$ ，直线 $l$ 和圆 $Γ$ 有公共点 B、对任意点 $P$ ，必存在实数 $k$ ，使得直线 $l$ 与圆 $Γ$ 相切 C、对任意实数 $k$ ，必存在点 $P$ ，使得直线 $l$ 与圆 $Γ$ 相切 D、对任意实数 $k$ 和点 $P$ ，圆 $O$ 和圆 $Γ$ 上到直线 $l$ 距离为1的点的个数相等

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12. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正整数，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、存在公差为1的等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 $S_{14} = 2023$ B、存在公比为2的等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 $S_{3} = 2023$ C、若 $S_{10} = 2023$ ，则 $a_{4} ⩽ 285$ D、若 $S_{10} = 2023$ ，则 $a_{10} ⩾ 208$

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三、填空题

13. $(1 + x)^{10} - (1 - x)^{9}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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14. 已知圆 $O$ 所在平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的锐二面角为 $\frac{π}{3}$ ，若圆 $O$ 在平面 $β$ 的正投影为椭圆 $O^{'}$ ，则椭圆 $O^{'}$ 的离心率为.

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15. 袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量 $ξ$ 为此时已摸球的次数，则 $E (ξ) =$ .

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16. 对任意 $x ∈ R$ ，恒有 $f (1 - x) = f (x + 1) = f (x - 1)$ ，对任意 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}] ， f (s i n θ) = c o s^{2} θ$ ，现已知函数 $y = f (x)$ 的图像与 $y = k x$ 有4个不同的公共点，则正实数 $k$ 的值为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， n = 2 k ， \\ a_{n} + 1 ， n = 2 k - 1 . \end{array} (k \in N^{*}) ， a_{2}$ 是 $a_{1} ， a_{3}$ 的等比中项.

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前20项的和.

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18. 在 $△ A B C$ 的内角的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 3 c o s C ， b = 1$ .

(1)、证明： $t a n C = 2 t a n B$ ；

(2)、再从条件①､②这两个条件中选择一个作为已知，求 $c o s 2 B$ 的值.
条件①： $△ A B C$ 的面积取到最大值；

条件②： $c = \frac{\sqrt{10}}{2}$ .

（注：如果选择条件①､②分别解答，那么按照第一个解答计分.）

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19. 如图，四面体 $A B C D ， A D ⊥ C D ， A D = C D ， A C = 2 ， A B = 3 ， ∠ C A B = 6 0^{∘}$ ， $E$ 为 $A B$ 上的点，且 $A C ⊥ D E ， D E$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $3 0^{∘}$ ，

(1)、求三棱锥 $D - B C E$ 的体积；

(2)、求二面角 $B - C D - E$ 的余弦值.

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20. 某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一､二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：

等级

一等

二等

三等

利润（万元/每件）

0.8

0.6

-0.3

(1)、求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

(2)、求该公司每天所获利润 $ξ$ （万元）的数学期望；

(3)、若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升 $n - l n n$ （万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.（ $l n 2 \approx 0.69 ， l n 3 \approx 1.1$ ）

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ ，左右顶点为 $A ， B$ ，设点 $P (- 1 ， t)$ ，直线 $A P ， B P$ 分别与双曲线交于 $M ， N$ 两点（不同于 $A ， B$ ）.

(1)、求双曲线的方程；

(2)、设 $△ A B P ， △ M N P$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $S_{2} = 6 S_{1}$ ，求直线 $M N$ 方程.（写出一条即可）

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22. 设 $a < \frac{e}{2}$ ，已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a (x^{2} - 2 x) + 2$ 有 $3$ 个不同零点.

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值：

(2)、求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $f (x)$ 的三个零点分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $x_{1} \cdot x_{3} < 0$ ，证明：存在唯一的实数 $a$ ，使得 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 成等差数列.

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等级	一等	二等	三等
利润（万元/每件）	0.8	0.6	-0.3