浙江省金华市义乌市2023届高三下学期数学适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-05-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 3 \leq x < 7} ， B = {x ∣ 2 < x < 10}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 $(- ∞ ， 2] \cup [10 ， + ∞)$ B、 $[3 ， 7)$ C、 $(2 ， 3) \cup [7 ， 10)$ D、 $R$

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2. 若复数 $z = (1 + 2 i) (2 - i)$ ，则复数 $z$ 的模 $| z | =$ （）

A、3 B、5 C、9 D、25

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{2 a^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 (a \neq 0)$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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4. 学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（）种不同的可能情况.

A、14 B、16 C、18 D、20

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5. 为了得到函数 $y = 3 s i n (2 x - \frac{π}{5})$ 的图象，只要把 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向右平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{4}{9} \vec{A B} + \frac{7}{9} \vec{A C}$ B、 $\vec{B F} =$ $\frac{4}{9} \vec{A B} - \frac{7}{9} \vec{A C}$ C、 $- \frac{7}{9} \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A C}$ D、 $\vec{B F} =$ $\frac{7}{9} \vec{A B} - \frac{4}{9} \vec{A C}$

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7. 在半径为 $\sqrt{3}$ 的实心球 $O_{1}$ 中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球 $O_{2}$ ，则球 $O_{2}$ 的表面积的最大值为（）

A、 $4 π \cdot {(\frac{27 \sqrt{3}}{16})}^{\frac{2}{3}}$ B、 $4 π \cdot {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{\frac{2}{3}}$ C、 $4 π \cdot {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}$ D、 $4 π \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

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8. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x) ， f (1 - x) = 1 - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上还满足：①当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ；② $f (0) = 0$ ；③ $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ .则 $f (- \frac{5}{3}) + f (\frac{1}{8})$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X ∼ N (0 ， 1)$ ，则 $P (x \leq - 1) = P (x \geq 1)$ B、样本相关系数 $r$ 的绝对值越接近 $1$ ，成对样本数据线性相关程度越强 C、数据 $25 ， 28 ， 33 ， 50 ， 52 ， 58 ， 59 ， 60 ， 61 ， 62$ 的第 $40$ 百分位数为 $51$ D、抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为 $Ω = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，令事件 $A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，则事件 $A ， B$ 不独立

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10. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱：一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的､相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的，由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响，该定义在后世可谓谬种流传，直到1916年，美国数学家斯顿（J.C.Stone）和米利斯（J.F.Millis）首次给出欧氏定义的反例.如图1，八面体 $E - A B C D - F$ 的每一个面都是边长为2的正三角形，且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，取各棱的中点，切割成欧氏反例（如图2），则该欧氏反例（）

A、共有12个顶点 B、共有24条棱 C、表面积为 $4 + 4 \sqrt{3}$ D、体积为 $\sqrt{2}$

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11. 已知拋物线 $C ： y^{2} = x$ ，点 $A ， B$ 均在抛物线 $C$ 上，点 $P (0 ， 3)$ ，则（）

A、直线 $P A$ 的斜率可能为 $\frac{1}{10}$ B、线段 $P A$ 长度的最小值为 $\sqrt{5}$ C、若 $P ， A ， B$ 三点共线，则存在唯一的点 $B$ ，使得点 $A$ 为线段 $P B$ 的中点 D、若 $P ， A ， B$ 三点共线，则存在两个不同的点 $B$ ，使得点 $A$ 为线段 $P B$ 的中点

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12. 当 $x > 1$ 且 $y > 1$ 时，不等式 $\frac{e^{2 x}}{l n^{2} y} > {(\frac{x}{y})}^{n}$ 恒成立，则自然数 $n$ 可能为（）

A、0 B、2 C、8 D、12

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三、填空题

13. $(x + y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数是.（用数字作答）.

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14. 若 $t a n θ = 2$ ，则 $\frac{s i n θ c o s 2 θ}{c o s θ - s i n θ} =$ .

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15. 若存在直线 $l$ 既是曲线 $y = x^{2}$ 的切线，也是曲线 $y = a l n x$ 的切线，则实数 $a$ 的最大值为.

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16. 已知 $A ， B ， D$ 三点在圆 $C ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 36$ 上， $△ A B D$ 的重心为坐标原点 $O$ ，则 $△ A B D$ 周长的最大值为.

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四、解答题

17. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 7$ ， $a_{3} = 4$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在数列 ${S_{n}}$ 中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．

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18. 为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况： $A$ ：1个红球1个白球， $B$ ：2个红球， $C$ ：2个白球， $D$ ：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.

(1)、求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率

(2)、求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；

(3)、若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C ， A D = 2 B C ， E$ 为 $P B$ 上的点，且 $P E = 2 E B$ .

(1)、证明： $P D$ $/ /$ 面 $A C E$ ：

(2)、若 $P A ⊥$ 面 $A B C D ， A B ⊥ A D ， P A = A D$ ，面 $P B D ⊥$ 面 $P A C$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的正弦值.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $s i n (2 A + B) = 2 s i n A (1 - c o s C)$ .

(1)、证明： $b = 2 a$ ；

(2)、求 $\frac{3 s i n^{2} A + s i n^{2} B}{2 s i n A s i n C} + c o s B$ 的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ､ F_{2} (\sqrt{3} ， 0) ， | M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 在直线 $x = s (| s | > 2)$ 上， $A ､ B$ 为 $C$ 的左右顶点，直线 $P A$ 交 $C$ 于点 $E$ （异于 $A ， B$ ），直线 $P B$ 交 $C$ 于点 $F$ （异于 $A ， B$ ）， $E F$ 交 $A B$ 于 $G$ ，过 $G$ 作 $x$ 轴的垂线分别交 $P A$ ､ $P B$ 于 $R ､ T$ ，问是否存在常数 $λ$ ，使得 $| R G | = λ | T G |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - a l n x$ .

(1)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $\frac{f (x_{1})}{\sqrt{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{\sqrt{x_{2}}} = \sqrt{m}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{2} - x_{1} < \frac{\sqrt{m^{2} - 16}}{2}$ .

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