浙江名校联盟2022-2023学年高二下学期期中数学联考试卷（B卷）

试卷更新日期：2023-05-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x \in Z | l n (x - 2) \leq 1}$ ，则集合 $A$ 的子集个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则复数z在平面内对应点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 把函数 $y = s i n 3 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ ，可以得到的函数为（）

A、 $y = s i n (3 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (3 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = c o s 3 x$ D、 $y = c o s (3 x + \frac{π}{6})$

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 2} ， x \leq 3 \\ l o g_{5} (x - 1) ， x > 3 \end{array}$ ，则 $f (f (126))$ 等于（）

A、 $l o g_{5} 2$ B、 $\frac{1}{e}$ C、e D、1

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5. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3} + 1 ， \sqrt{3} + 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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6. 在 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中，常数项为（　　）

A、-192 B、-160 C、60 D、240

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7. 在100张奖券中，有4 张中奖，从中任取两张，则两张都中奖的概率是（）

A、 $\frac{1}{50}$ B、 $\frac{1}{25}$ C、 $\frac{1}{825}$ D、 $\frac{1}{4950}$

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8. 已知a， $b$ 为正实数，直线 $y = x - 2 a$ 与曲线 $y = l n (x + b)$ 相切，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的极小值为2 C、 $f (x)$ 的极大值为－2 D、 $f (x)$ 有2个零点

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10. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（）

A、甲乙丙三人选择课程方案有 $120$ 种方法 B、恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为 $\frac{5}{9}$ C、已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为 $\frac{25}{36}$ D、设三名同学选择课程“礼”的人数为 $ξ$ ，则 $E ξ = \frac{1}{2}$

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11. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x + \cos x (x > 0)$ 的所有极值点从小到大排列成数列 ${a_{n}}$ ，设 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论中正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、 $a_{4} = \frac{17 π}{6}$ C、 $\sin S_{2021} = \frac{1}{2}$ D、 $\tan (a_{3} + a_{7}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $⋯$ ， $P_{n}$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = ⋯ = ∠ P_{n - 1} F P_{n} = ∠ P_{n} F P_{1} = \frac{2 π}{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 2$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F |} + \frac{1}{| P_{2} F |} = 2$ B、 $n = 3$ 时， $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F |$ 的最小值为9 C、 $n = 4$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F | + | P_{3} F |} + \frac{1}{| P_{2} F | + | P_{4} F |} = \frac{1}{4}$ D、 $n = 4$ 时， $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F | + | P_{4} F |$ 的最小值为8

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三、填空题

13. 已知函数 $g (x) = \frac{a}{5^{x} - 1} + 6$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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14. 已知抛物线 $C$ ： $4 x^{2} + m y = 0$ 恰好经过圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的圆心，则抛物线C的焦点坐标为.

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15. 若双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为．

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16. 已知函数 $f (x) = | x e^{x + 1} |$ ，若关于x方程 $f^{2} (x) - 2 t f (x) + 2 = 0 (t \in R)$ 有两个不同的零点，则实数t的取值范围为．

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四、解答题

17. 从10名同学（其中6女4男）中随机选出3人参加测验，每个女同学通过测验的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，每个男同学通过测验的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，求：

(1)、选出的3个同学中，至少有一个男同学的概率；

(2)、10个同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $C D = \sqrt{6}$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\cos ∠ A D B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\cos ∠ B D C$ ；

(2)、求 $B C$ 的长.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${S_{n}^{2}}$ 是等差数列，并求出 $S_{n}$ 的表达式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 中是否存在连续三项 $a_{k}$ ， $a_{k + 1}$ ， $a_{k + 2}$ ，使得 $\frac{1}{a_{k}}$ ， $\frac{1}{a_{k + 1}}$ ， $\frac{1}{a_{k + 2}}$ 构成等差数列？请说明理由.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3} b$ ，经过点 $P (- 2 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 $\vec{O M} = \vec{N O}$ ，直线 $P M ， P N$ 分别交椭圆于A，B． $P Q ⊥ A B$ ，Q为垂足．是否存在定点R，使得 $| Q R |$ 为定值，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x} + a l n x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在大于 $1$ 的零点 $x_{0}$ ，设 $f (x)$ 的极值点为 $x_{1}$ ；
①求 $a$ 的取值范围；

②证明： $3 x_{1} > 2 x_{0}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x l n (x + a) - a e^{2} x (x \geq 0 ， a \geq 1)$ ， $f (x)$ 的导函数为 $g (x)$ ．

(1)、若 $g (x)$ 存在极值点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ， $g (x)$ 的最小值为 $n$ ，证明： $m < n$ ．

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