湖北省武汉市洪山区东片区2023年中考数学联考试卷（3月）

试卷更新日期：2023-05-18 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. 实数-2的相反数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列事件中是必然事件的是（）

A、打开电视机，正在播放电视剧 $《$ 觉醒年代 $》$ B、抛掷一枚质地均匀的骰子，点数六朝上 C、随意翻到新华字典的某页，这一页的页码是奇数 D、通常温度降到 $0 ℃$ 以下，纯净的水结冰

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3. 在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形 $.$ 下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算 $(- 2 a^{3})^{2}$ 的结果是（）

A、 $4 a^{6}$ B、 $2 a^{6}$ C、 $4 a^{5}$ D、 $2 a^{5}$

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5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在单词 $m a t h e m a t i c s ($ 数学 $)$ 中任意选择一个字母，字母为元音字母 $(a$ 、 $e$ 、 $i$ 、 $o$ 、 $u)$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{11}$ C、 $\frac{4}{11}$ D、 $\frac{5}{11}$

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有竹高一丈、末折抵地，去本三尺 $.$ 问折者高几何？翻译：现有竹子高一丈，折断的末端撑着地，离地面竹根三尺远，问折断处离地面有多高？（1丈=10尺）设折断处离地的高度为 $x$ 尺，则下列方程正确的是（）

A、 $x^{2} + 3^{2} = (10 - x)^{2}$ B、 $x^{2} - 3^{2} = (10 - x)^{2}$ C、 $3^{2} + (10 - x)^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + (10 - x)^{2} = 3^{2}$

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8. 甲，乙两车从 $A$ 地驶向 $B$ 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶 $2 h$ ，并且甲车途中休息了 $0.5 h$ ，如图是甲，乙两车行驶的路程 $y (k m)$ 与甲车行驶的时间 $x (h)$ 的函数图象，则在乙车行驶的过程中两车相距 $40 k m$ 时，乙车行驶的时间为（）

A、 $\frac{7}{4}$ 或 $\frac{11}{4} h$ B、 $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{9}{2} h$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{5}{3} h$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{5}{2} h$

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9. 有一张矩形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，上面有一个以 $A D$ 为直径的半圆，如图甲，将它沿 $D E$ 折叠，使 $A$ 点落在 $B C$ 上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分 $($ 阴影部分 $)$ 的面积是（）

A、 $π - 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2} π + \sqrt{3}$ C、 $\frac{2}{3} π + \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$

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10. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + 2020 x + 3 = 0$ 的两根，则代数式 $(3 + 2023 a + a^{2}) (3 + 2023 b + b^{2})$ 的值是（）

A、18 B、-18 C、27 D、-27

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 化简 $\sqrt{3^{2}}$ 的结果是．

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12. 一家公司某部门 $7$ 名员工的月薪 $($ 单位：元 $)$ 分别是：8000，2550，4599，1700，980，2480，1976，这组数据的中位数是．

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13. 已知点 $A (a ， y_{1})$ ， $B (a + 1 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{n^{2} + 1}{x} (n$ 是常数 $)$ 的图象上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在 $G$ 处仰望楼顶 $C$ ，仰角为 $45 °$ ，走到点 $F$ 处仰望楼顶 $C$ ，仰角为 $60 °$ ，眼睛 $D$ 、 $B$ 离同一水平地面 $E G$ 的高度为 $1.6$ 米， $F G = 20$ 米，则楼顶 $C$ 离地面的高度 $C E$ 约是米 $(\sqrt{3}$ 取 $1.732$ ， $\sqrt{2}$ 取 $1.414$ ，按四舍五入法将结果精确到 $0.1)$ ．

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15. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数 $)$ ， $a + b + c = 0$ ，且图象经过 $(- 3 ， 0) .$ 下列四个结论： $① a b c > 0$ ； $② 3 a + c = 0$ ； $③$ 当 $a > 0$ 时，对于任意实数 $m$ ，有 $a m^{2} + b m \geq a - b$ ； $④$ 当 $- \frac{1}{4} < a < 0$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $.$ 其中正确的是 $($ 填写序号 $)$ ．

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16. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是 $A C$ 的中点， $P$ 是 $B C$ 边上一动点，且从 $B$ 以 $1$ 个单位每秒的速度向 $C$ 出发 $.$ 设 $x = B P$ ， $y = A P + P D$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象过点 $(0 ， 6 + 3 \sqrt{3})$ ，则图象最低点的坐标是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。）

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \geq x + 1 ① \\ x + 8 \leq 4 x - 1 ② \end{array}$ 请按下列步骤完成解答：

(1)、解不等式 $①$ ，得；

(2)、解不等式 $②$ ，得；

(3)、把不等式 $①$ 和 $②$ 的解集在数轴上表示出来；

(4)、原不等式组的解集为．

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18. 如图，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 上的点， $D E / / B A$ ， $D F / / C A$ ．

(1)、求证： $∠ F D E = ∠ A$ ．

(2)、若 $B D$ ： $D C = 1$ ： $4$ ， $S_{△ C D E} = 16$ ，求 $S_{△ A B C}$ ．

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19. 推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长 $t ($ 单位：小时 $)$ 的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别： $A$ 组 $(3 \leq t < 4)$ ， $B$ 组 $(4 \leq t < 5)$ ， $C$ 组 $(5 \leq t < 6)$ ， $D$ 组 $(6 \leq t < 7)$ ， $E$ 组 $(7 \leq t < 8)$ 进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

(1)、这次抽样调查的样本容量是， $E$ 组所在扇形的圆心角的大小是；

(2)、将频数分布直方图补充完整；

(3)、若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数．

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20. 如图， $P A$ 为 $⊙ O$ 的切线， $A$ 为切点，过 $A$ 作 $O P$ 的垂线 $A B$ ，垂足为点 $C$ 交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，延长 $B O$ 与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，与 $P A$ 的延长线交于点 $E$ ．

(1)、求证： $P B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\frac{O C}{B C} = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s ∠ E$ ．

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21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格， $△ A B C$ 的顶点均在格点上 $.$ 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

⑴在图（1）中画 $△ A B C$ 的高 $C H$ ；

⑵在图（1）的线段 $A C$ 上画一点 $D$ ，使得 $S_{△ A B D}$ ： $S_{△ C B D} = 2$ ： $3$ ；

⑶在图（2）中 $C$ 点的右侧画一点 $F$ ，使 $∠ F C A = ∠ B C A$ 且 $C F = 2$ ．

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22. 北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 $x$ 轴，过跳台终点 $A$ 作水平线的垂线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线 $C_{1}$ ： $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点 $O$ 正上方 $A$ 点滑出，滑出后沿一段抛物线 $C_{2}$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ 运动．

(1)、当小张滑到离 $A$ 处的水平距离为 $6$ 米时，其滑行高度最大，为 $\frac{17}{2}$ 米，直接写出 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，当小张滑出后离 $A$ 的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为 $\frac{4}{3}$ 米？

(3)、小张从 $A$ 点滑出，滑行的高度恰好在坡顶正上方时，与坡顶距离不低于3米，求此时 $b$ ， $c$ 的值或取值范围．

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23. 点 $M$ 在矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上， $Q$ 在边 $B C$ 上， $B M$ 、 $Q D$ 的延长线上交于点 $P$ ．

(1)、如图1，点 $E$ 是 $M D$ 的中点，延长 $P E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，求证：点 $F$ 是 $B Q$ 的中点；

(2)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点：
$①$ 如图2，连接 $P A$ ，求证： $∠ P A D = ∠ Q A D$ ；

$②$ 如图3，若 $∠ B P Q = 45 °$ ， $D C = 4 C Q$ ，直接写出 $\frac{A B}{A D}$ 的值为 ▲ ．

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24. 平面直角坐标系中，已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} + (1 + m) x - m (m$ 为常数 $)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 左边 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、若 $m = 4$ ，求点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标；

(2)、如图1，在 $(1)$ 的条件下， $D$ 为抛物线 $x$ 轴上方一点，连接 $B D$ ，若 $∠ D B A + ∠ A C B = 90 °$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2，将抛物线 $C_{1}$ 向左平移 $n$ 个单位长度 $(n > 0)$ 与直线 $A C$ 交于 $M$ ， $N ($ 点 $M$ 在点 $N$ 右边 $)$ ，若 $A M = \frac{1}{2} C N$ ，求 $m$ ， $n$ 之间的数量关系．

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