四川省成都市武侯区2023年中考数学二模试题

试卷更新日期：2023-05-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，倒数是它本身的数是（）

A、1 B、0 C、2 D、 $- 2$

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2. 近两年新能源汽车比亚迪的销量实现了快速增长，2023年比亚迪计划冲击400万台的整车年度销量目标．将数据400万用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 1 0^{2}$ B、 $4 \times 1 0^{5}$ C、 $4 \times 1 0^{6}$ D、 $4 \times 1 0^{7}$

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3. 若分式 $\frac{2}{x - 5}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > 5$ B、 $x < 5$ C、 $x \neq 5$ D、 $x = 5$

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4. 成都市武侯区“水韵园”综合教育基地设有民族危机档案、科技创想营地、匠心制作工坊、舒心交流空间、时尚体育时分五大教育功能区，某校组织学生分区体验种类丰富、课程新颖的综合实践活动．每个功能区的人数分别为：80，79，82，81，82．则这组数据的中位数和众数分别是（）．

A、80，81 B、81，81 C、79，82 D、81，82

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \geq 1 \\ 2 x > 4 x - 10 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若m，n满足 $(2 m + 2)^{2} + | n - 2 | = 0$ ，则 $m^{n}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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7. 在平面直角坐标系中，将点 $M (- 4 ， 3)$ 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（）

A、 $(- 7 ， 3)$ B、 $(- 7 ， 5)$ C、 $(- 1 ， 5)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点A和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交边AB于点D．若 $A D = B C$ ， $∠ A = 35 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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二、填空题

9. 因式分解： $x^{2} - 2 x$ = ．

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10. 如图，将 $△ A B C$ 绕着点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，使得点B的对应点D落在边 $A C$ 的延长线上，若 $A B = 8$ ， $A E = 5$ ，则线段 $C D$ 的长为．

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11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m =$ ．

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，菱形 $A B C D$ 的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C在x轴的正半轴上，顶点D在y轴上，若点A的坐标是 $(- 10 ， 8)$ ，则点C的坐标是．

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13. 在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1$ 的图象上有 $A (2 ， y_{1})$ ， $B (4 ， y_{2})$ 两点，若 $y_{1} > y_{2}$ ，则a的取值范围是．

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三、解答题

14.

(1)、计算： $2 c o s 30 ° + 2^{- 1} - | 1 - \sqrt{3} | - (π + 2023)^{0}$ ．

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 4 ① \\ 2 x + 3 y = 15 ② \end{array}$

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15. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行（以下简称“成都大运会”），这是成都第一次举办世界性综合运动会．某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
知晓情况
人数
A．非常了解
4
B．比较了解
18
C．基本了解
m
D．不了解
5
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、求本次调查的总人数及表中m的值；

(2)、求扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数；

(3)、“非常了解”的四名同学分别是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 两名女生， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 两名男生，若从中随机选取两名同学向全校作交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女姓的概率．

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16. 成都凤凰山体育公园由“一场两馆”组成，其中“一场”指的是按照FIFA标准建设的专业足球场，配备专业的固草系统，能同时容纳6万名观众．某数学兴趣小组利用所学知识测量该足球场所在建筑物 $A B$ 的高度．如图，他们先在地面C处测得建筑物的顶部A的仰角 $∠ A C B = 45 °$ ，又在与C相距43米的D处测得建筑物的顶部A的仰角 $∠ A D B = 31 °$ （其中点B，C，D在同一条直线上），求建筑物 $A B$ 的高度．（结果精确到 $0.1$ 米；参考数据： $c o s 31 ° ≈ 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ）

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17. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C，D为 $⊙ O$ 上两点，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ， $C D$ ，线段 $C D$ 与 $A B$ 相交于点E，过点D作 $∠ A D F = ∠ A C D$ ， $D F$ 交 $C A$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F ∥ A B$ ， $C E = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ， $D E = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A (1 ， 4)$ ， $B (- 4 ， n)$ 两点．

(1)、分别求一次函数及反比例函数的表达式；

(2)、在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接 $P A ， P B$ 且满足 $S_{△ P A B} = 15$ ．
i）求点P的坐标；
ii）过点A作直线 $l ∥ P B$ ，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连接 $B Q$ ，试问： $△ Q A B$ 能否与 $△ A B P$ 相似？若能，求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由．

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四、填空题

19. 我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知 $A = x - \frac{2 x - 1}{x}$ ， $B = \frac{x - 1}{x}$ ，则化简 $A \div B$ 的结果为．

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20. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为 $3 c m$ 的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在 $0.7$ 左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为．

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21. 已知P是 $⊙ O$ 内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 12 a x - 20 = 0$ 的两个实数根，则 $⊙ O$ 的直径为．

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22. 在等边 $△ A B C$ 中（其中 $A B > 4 \sqrt{3}$ ），点P在 $A B$ 边上运动，点Q在 $B C$ 边上运动，且满足 $P Q = 6$ （点P，Q都不与B重合），以 $P Q$ 为底边在 $P Q$ 左侧做等腰三角形 $P Q D$ ，使得 $∠ P D Q + ∠ B = 180 °$ ．则四边形 $P D Q B$ 的面积的最大值是．

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23. 某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式 $h = - 5 t^{2} + m t + n$ ，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前L的取值范围是．

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五、解答题

24. 文明，是一座城市的幸福底色，是城市的内在气质.2023年是成都争创全国文明典范城市的关键之年．为积极推进创建工作，某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶共120个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半．根据市场调查，A型垃圾分装桶的价格为每个400元，B型垃圾分装桶的价格为每个100元．

(1)、设购买A型垃圾分装桶x个，求x的取值范围；

(2)、某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，试问：该企业最少需要花费多少元？

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ 分别与x轴，y轴相交于A，B两点，抛物线 $y = x^{2} + m x - 3$ 经过点A，点C是抛物线的顶点，连接 $A C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；

(2)、求 $∠ B A C - 2 ∠ B A O$ 的度数；

(3)、设直线 $y = k x - k (k \neq 0)$ 与抛物线相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），当直线 $P Q$ 与直线 $A C$ 相交所成的一个角为 $45 °$ 时，求点Q的坐标．

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26. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = n A B$ （其中 $n > 1$ ），点P是 $A D$ 边上一动点（点P不与A重合），点E是 $A B$ 边的中点，连接 $P E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $P E$ 进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接 $P O$ 并延长，交 $B C$ 边于点F（点F不与C重合），过点F作 $∠ P F C$ 的平分线 $F G$ ，交矩形 $A B C D$ 的边于点G．

(1)、求证： $P E ∥ F G$ ；

(2)、如图2，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值；

(3)、若 $n = 2$ ，连接 $P G$ ， $O G$ ，当 $△ P O G$ 是以 $O P$ 为直角边的直角三角形时，求 $\frac{D P}{A P}$ 的值．

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知晓情况	人数
A．非常了解	4
B．比较了解	18
C．基本了解	m
D．不了解	5