广西壮族自治区梧州市2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 4的倒数是（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 如图是由几个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其主视图的面积是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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3. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 2)$ ，将点A向右平移2个单位长度得到点 $A^{'}$ ， $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(1 ， 0)$

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x - 2 < 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $\sqrt{a + 3} + | b - 5 | = 0$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、8 B、2 C、-8 D、-2

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6. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{2} = 2 a^{4}$ C、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$ D、 $a^{3} \div a = a^{3}$

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7. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（）

A、摸出1个球是红球的概率是 $\frac{3}{5}$ B、一次摸出2个球都是白球的概率是 $\frac{1}{10}$ C、一次摸出4个球至少有2个是红球 D、一次摸出2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{5}$

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8. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 相似比为 $1 ： 2$ ，若点A的坐标为 $(2 ， 3)$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 1.5)$ 或 $(- 1 ， - 1.5)$ B、 $(4 ， 6)$ 或 $(- 4 ， - 6)$ C、 $(- 4 ， 6)$ 或 $(4 ， - 6)$ D、 $(- 1 ， 1.5)$ 或 $(1 ， - 1.5)$

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9. 若用半径为 $6 c m$ ，圆心角为 $120 °$ 的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（）

A、 $2 c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $6 c m$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ．如果 $C D = A C$ ， $∠ B = 15 °$ ，那么 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $125 °$ C、 $130 °$ D、 $135 °$

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11. 如图，圆周角 $∠ C$ 与 $⊙ O$ 相交于点A，B，已知 $∠ C = 60 °$ ，弦 $A B = 6$ ， $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ D、3

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12. 如图，直线 $y = - x + 2$ 分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的一个分支相交，其中有一交点为D，过点D作矩形 $O C D E$ ，（点C，E分别在x，y轴上）．若 $△ A C D$ 与 $△ B E D$ 的面积和为 $\frac{3}{2}$ ，则k为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 生物的遗传信息大多储存在 $D N A$ 分子上，一个 $D N A$ 分子直径为 $0.000000201 c m$ ， $0.000000201$ 用科学记数法可表示为.

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14. 因式分解： $2 x^{2} - 2 =$ ；

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15. 甲乙两名工人生产同一种零件，甲每天比乙多生产8个，甲生产600个零件与乙生产400个零件所用天数相同.设乙每小时生产x个零件，可列出方程为.

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16. 如图，直线 $y = k x + h$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交于 $A (- 2 ， m) ， B (6 ， n)$ 两点，则关于x的不等式 $h < a x^{2} + (b - k) x + c$ 的解集是.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O B C D$ 的顶点 $D (3 ， 2)$ ，点P是对角线 $O C$ 上的一个动点，已知 $A (- 1 ， 0)$ ，则 $A P + B P$ 的最小值是

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 内部作等边 $△ E D C$ ， $A E$ 交 $B C$ 于F点，过E作 $G H ⊥ A F$ ，分别交 $A B 、 C D$ 于点G，H．则 $\frac{E H}{A F}$ 的值是．

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三、解答题

19. 计算： ${(- 1)}^{3} + 4 \times (- 2) - 3 \div (- 3)$ ．

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20. 先化简后求值： $(x + 2) (x - 2) - {(x - 1)}^{2}$ ，其中x=-1．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，F为 $B C$ 的中点，连接 $D F$ 并延长，与 $A B$ 的延长线交于点E．

(1)、求证： $B E = C D$ ；

(2)、连接 $A C$ ，与 $D F$ 交于点G，若 $A C ⊥ D F$ ， $A B = 4 ， A C = 6$ ，求 $A G$ 的长．

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22. 某校在七、八年级进行了“学党史”知识竞赛（百分制），并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理如下：

七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，92

八年级10名学生的成绩是：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100

七、八年级随机抽取的学生竞赛成绩统计表

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	92	b	c	52
八年级	a	92	100	21.2

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、表格中a= ， b= ， c=；

(2)、这次比赛中年级的成绩更稳定；

(3)、我校七年级共700人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛成绩优秀（

x \geq 90

）的七年级学生有多少人？

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23. 如图，某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度 $A B$ ．该古塔旁有一个小山坡，在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为 $60 °$ ，已知 $B C = 10$ 米， $E D ⊥ B D$ （点B，C，D在同一直线上）.

(1)、求古塔的高度 $A B$ ；（结果保留根号）

(2)、小明站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为 $30 °$ ，该山坡的坡度 $i = t a n ∠ E C D = 1 ： \sqrt{3}$ ，求山坡的高度 $D E$ ．（结果保留根号）

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24. 党的二十大报告指出，“在全社会弘扬劳动精神、奋斗精神、奉献精神、创造精神、勤俭节约精神，培育时代新风新貌”．我市某校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动，以培养学生养护学校盆栽的劳动技能，已知学校购买三角梅5盆和绣球花3盆，需要210元；购买三角梅3盆和绣球花5盆，需要190元．

(1)、求学校购买三角梅、绣球花每盆各需多少钱？

(2)、考虑到绿化效果和资金周转，学校计划购买两种盆栽共100盆，且购买三角梅的盆数不少于绣球花的盆数的2倍．设购买三角梅a盆，所需资金w元，
①请求w与a的函数关系式；
②怎样购买所需资金最少？

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D E ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点E.

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径是5， $B C = 8$ ，求 $A D$ 的长.

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26. 如图1，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A (- 6 ， 0) ， B (0 ， 8) ， C (8 ， 0)$ ，点P为线段 $A C$ 上的一动点（点P与点A，C不重合），过点P作 $P Q ∥ B C$ 交 $A B$ 于点Q，将 $△ A P Q$ 沿 $P Q$ 翻折，点A的对应点为点D，连接 $P D ， Q D ， B D$ ．设点P的坐标为 $(t ， 0)$

(1)、当点D恰好落在 $B C$ 上时，求点P的坐标；

(2)、若 $△ P D Q$ 与 $△ A B C$ 重叠部分面积S与点P横坐标t之间的函数解析式为 $S = {\begin{array}{l} a (t + 6)^{2} (- 6 < t \leq 1) \\ - \frac{6}{7} t^{2} + b t + \frac{64}{7} (1 < t < 8) \end{array}$ ，其图象如图2所示，求a、b的值；

(3)、是否存在点P，使得 $∠ B D Q$ 为直角？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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