吉林省长春市汽开区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上 $3 ℃$ 记作 $+ 3 ℃$ ，则气温零下 $5 ℃$ 记作（）

A、 $- 5 ℃$ B、 $- 2 ℃$ C、 $+ 2 ℃$ D、 $+ 5 ℃$

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2. 中国海洋石油集团有限公司成立于1982年2月15日，注册资金为 $94900000000$ 元．将 $94900000000$ 这个数用科学记数法表示为（）

A、 $949 \times 1 0^{8}$ B、 $9.49 \times 1 0^{9}$ C、 $9.49 \times 1 0^{10}$ D、 $0.949 \times 1 0^{11}$

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3. 如图，将两个大小完全相同的杯子叠放在一起，则该实物的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）

A、9 B、6 C、4 D、－1

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5. 如图，将一个对边平行的纸条沿 $A B$ 折叠一下，若 $∠ 1 = 130 °$ ，则∠2的大小为（）

A、 $65 °$ B、 $100 °$ C、 $115 °$ D、 $130 °$

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6. 一个住宅区的配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则配电房房顶离地面的高度为（）

A、 $(1.8 t a n α + 2.5) m$ B、（ $\frac{1.8}{t a n α} + 2.5$ ）m C、（ $1.8 s i n α + 2.5$ ）m D、（ $\frac{1.8}{s i n α} + 2.5$ ）m

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7. 如图，点P是 $⊙ O$ 外一点，分别以O、P为圆心，大于 $\frac{1}{2} O P$ 长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线 $M N$ 交 $O P$ 于点C，再以点C为圆心，以 $O C$ 长为半径作圆弧，交 $⊙ O$ 于点A，连接 $P A$ 交 $M N$ 于点B，连接 $O A 、 O B$ ．若 $∠ P = 26 °$ ，则 $∠ A O B$ 的大小为（）

A、 $26 °$ B、 $38 °$ C、 $52 °$ D、 $64 °$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的对称轴与坐标轴重合，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象与矩形的边分别交于点E、F、G、H，连结 $E F$ 、 $G H$ ．若 $△ A E F$ 与 $△ C G H$ 的面积和为2，且 $B E = 3 A E$ ，则k的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 4$ D、 $- 8$

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二、填空题

9. 分解因式： $a^{2} - 7 a =$ ．

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10. 欧亚超市越野店39周年店庆，澳醇鲜冠纯牛奶每箱原价 $75.60$ 元，店庆价 $29.90$ 元，某单位购买m箱这种牛奶，比店庆前便宜元．（用含m的代数式表示）

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11. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 $a + b$ 0．（填“＞”、“＝”或“＜”）

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，点D是斜边 $A B$ 的中点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于点E，连接 $C D$ ，过点E作 $C D$ 的平行线，交 $B C$ 的延长线于点F．若 $A B = 10$ ，则 $E F$ 的长为．

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13. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $45 °$ 后得到 $△ A D E$ ，点B经过的路径为 $\overset{⌢}{B D}$ ．若 $A B = 4$ ，则图中阴影部分图形的面积为．（结果保留π）

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 、 $C E F G$ 的顶点D、F都在抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 上，点B、C、E均在y轴上．若点O是 $B C$ 边的中点，则正方形 $C E F G$ 的边长为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $a (a + 2) + (1 + a) (1 - a)$ ，其中 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．

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16. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字．请用画树状图（或列表）的方法，求两次记录的数字之和为 3 的概率．

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17. 某科技公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A型芯片的条数与用3 500元购买B型芯片的条数相等．求该公司购买B型芯片的单价．

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18. 如图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中，作 $△ A B C$ 的中线 $C D$ ．

(2)、在图②中，在 $A B$ 边上找一点E，连结 $C E$ ，使 $C E = B E$ ．

(3)、在图③中，在 $A C$ 边上找一点F，连结BF，使 $△ B F C$ 的面积为 $\frac{10}{3}$ ．

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19. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，E为 $C D$ 的中点，连接 $O E$ 并延长到点F，使 $E F = E O$ ，连接 $D F 、 C F$ ．

(1)、求证：四边形 $D O C F$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $s i n ∠ D O F = \frac{5}{8}$ ，则 $A C$ 的长为．

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20. 2022年，我国粮食总产量再创新高．新浪微博发表了《丰收来之不易，一图读懂2022年全国粮食产量》一文，现将其中两部分内容截图如下．
根据以上信息回答下列问题：

(1)、从“粮食五大主产地占全国比重”那张图看，产量最高的产地是．

(2)、我国从2018年到2022年，粮食总产量的中位数是．

(3)、国家统计局公布，2022年全国粮食总产量68 653万吨，比上一年增长0.5%．如果继续保持这个增长率，2023年全国粮食总产量约为万吨（保留整数）．

(4)、国际粮食安全的标准线为人均粮食占有量400公斤，2022年我国的人口数为14.12亿人，请通过计算说明2022年我国人均粮食占有量是否超过国际粮食安全的标准线．（注：1吨＝1000公斤，人均粮食占有量= $\frac{粮食的总产量}{总人口数}$ ）

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21. 某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数关系如图所示．

(1)、 A、B两地间的距离是千米，乙车的速度为千米/时．

(2)、求甲车出发至C地的过程中，y与x之间的函数关系式．

(3)、直接写出乙车出发多长时间，两车相距220千米．

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22.

(1)、【学习心得】请你完成下列证明：如图①， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等边三角形，点D在边 $B C$ 上，连接 $C E$ ．求证： $B D = C E$ ．

(2)、【类比探究】如图②， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，点D在 $B C$ 边上．若 $B D = 2$ ， $C D = 3$ ，则 $D E$ 的长为．

(3)、【拓展延伸】如图③，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，在 $R t △ P F E$ 中， $∠ E P F = 90 °$ ，点E、F分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上，点P在线段 $A C$ 上．若 $\frac{P C}{A C} = \frac{3}{10}$ ，则 $\frac{P F}{P E} =$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = 15 ， A C = 20$ ，动点P从点B出发，在线段 $B C$ 上以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接 $A P$ ．将 $△ A P B$ 沿直线 $A P$ 翻折得到 $△ A P B^{'}$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、当四边形 $A B P B^{'}$ 为中心对称图形时，求t的值；

(3)、当点 $B^{'}$ 在 $B C$ 下方时，连接 $B B^{'} 、 C B^{'}$ ，求此时 $△ C B B^{'}$ 面积的最大值；

(4)、当直线 $A B^{'}$ 与 $△ A B C$ 一边垂直时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $(0 ， 3) ， (3 ， 0)$ ．点A、B均在这条抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为 $4 - 2 m$ ．

(1)、求该抛物线所对应的函数表达式．

(2)、当 $m \leq x \leq \frac{7}{2}$ 时， $- \frac{9}{4} \leq y \leq 4$ ，求m的取值范围．

(3)、当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，在x轴上确定点C，连接 $A C$ 、 $B C$ ，求 $A C + B C$ 的最小值．

(4)、将此抛物线上A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为图像G，若点M的坐标为 $(2 m ， 0)$ ，点N的坐标为 $(0 ， - 2 m)$ ，以 $O M$ 、 $O N$ 为边构造正方形 $O M P N$ ，当图像G在正方形 $O M P N$ 内部（包括边界）最高点与最低点的纵坐标之差为3时，直接写出m的取值范围．

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