吉林省长春市南关区2023年中考二模数学试题

试卷更新日期：2023-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个实数中，最小的数是（）

A、 $- 1$ B、 $- | - 2 |$ C、0 D、 $π$

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2. 中国互联网络信息中心近期发布第51次《中国互联网络发展状况统计报告》显示，截止到2022年12月，我国网民规模达10.67亿．将数据10.67亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.067 \times 1 0^{8}$ B、 $10.67 \times 1 0^{8}$ C、 $1.067 \times 1 0^{9}$ D、 $0.1067 \times 1 0^{10}$

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3. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ - 2 x \leq 6 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x < - 1$ B、 $- 3 \leq x < - 1$ C、 $x > - 1$ D、 $x \geq - 3$

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5. 如图，某停车场入口的栏杆 $A B$ ，从水平位置绕点O旋转到 $A^{'} B^{'}$ 的位置，已知 $A O$ 的长为6米．若栏杆的旋转角 $∠ A O A^{'} = α$ ，则栏杆A端升高的高度为（）

A、 $6 s i n α$ 米 B、 $6 c o s α$ 米 C、 $\frac{6}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{6}{c o s α}$ 米

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 的两边 $A D$ 、 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于A、C两点，点B在 $⊙ O$ 上，若 $∠ D = 50 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $130 °$ B、 $65 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，连接 $A C$ ，分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线 $M N$ 分别交 $A D ， B C$ 于点E、F、下列说法不一定正确的是（）

A、 $∠ B A F = ∠ C A F$ B、 $∠ A F B = 2 ∠ A C B$ C、 $∠ C A E + ∠ A E F = 90 °$ D、 $C E = C F$

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 6)$ ， $B (5 ， 6)$ ，将 $△ A B O$ 向右平移到 $△ C D E$ 位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点C和 $D E$ 的中点F，则k的值是（）

A、6 B、12 C、15 D、30

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二、填空题

9. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ ＝.

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10. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - k = 0$ 无实数解，则k的取值范围是．

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11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边 $A C$ 上，点E在边 $C B$ 的延长线上， $A B ∥ E F$ ， $∠ C = ∠ F = 90 °$ ，则 $∠ C D E$ 的大小为度．

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12. 如图，用一个半径为 $6 c m$ 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 $150 °$ ，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 $c m$ ．（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，点O为正六边形 $A B C D E F$ 对角线 $A C$ 上一点，阴影部分的面积和为 $18 \sqrt{3}$ ，则正六边形的边长是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的任意一点，过点C的直线与二次函数 $y = x^{2}$ 的图象交于A、B两点，点A的横坐标为 $- 1$ ，且 $C B = 3 A C$ ， P为 $C B$ 的中点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于M、N两点，则 $M N$ 的长为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(2 m - 1)}^{2} - (m - 5) (m + 1)$ ，其中 $m = - \sqrt{5}$ ．

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16. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 $1$ 、 $2$ 、 $- 1$ ．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上数字为一正一负的概率．

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17. 疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用 $4800$ 元租到A客房的数量与用 $4200$ 元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多 $30$ 元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．

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18. 如图，在 $10 \times 10$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形．图中 $△ A B C$ 为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中，作出边 $A B$ 的中线；

(2)、在图②中，作出过A、B、C三点的所有格点平行四边形；

(3)、在图③中，作出与 $△ A B C$ 相似的所有格点三角形，要求所作格点三角形与 $△ A B C$ 有两边分别共线，且所作格点三角形与 $△ A B C$ 的相似比为2：1．

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19. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证：四边形 $A D B F$ 是菱形；

(2)、若 $A C = 10$ ， $t a n ∠ D A C = \frac{3}{5}$ ，求菱形 $A D B F$ 的面积．

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20. $2023$ 年国家统计局公布了《 $2022$ 年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示，全国 $2018$ 年至2022年货物进出口额变化情况，根据国家统计局 $2022$ 年发布的相关信息，绘制了如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题：

(1)、从 $2018$ 年到 $2022$ 年，进口额最多的是年；

(2)、从 $2018$ 年到 $2022$ 年，出口额年增长率的中位数是；

(3)、货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口额超过货物进口额的差额称为货物进出口顺差， $2022$ 年我国货物进出口顺差是万亿元；

(4)、下列结论正确的是．（只填序号）
①与 $2018$ 年相比， $2019$ 年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升．

② $2018 - 2022$ 年进口额增长率持续下降．

③与 $2021$ 年相比， $2022$ 年出口额增加了 $2.3$ 万亿元，出口额年增长率下降了 $10.6$ 个百分点；（注： $1 %$ 为1个百分点）

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21. 现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以 $60 k m / h$ 的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程 $y (k m)$ 与时间 $x (h)$ 之间的函数关系如图所示．

(1)、甲车停留前行驶时的速度是 $k m / h$ ， $m =$ h；

(2)、求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；

(3)、求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？

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22. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $E F$ ．把纸片展平后，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $E F$ 上，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，折痕为 $D P$ ，连结 $C A^{'}$ ．
①当矩形 $A B C D$ 是正方形时， $△ A^{^{'}} D C$ 是 ▲ 三角形；
②当 $△ A^{'} D F$ 是等腰直角三角形时，求边 $A B$ 与边 $A D$ 之间的数量关系；
③若点P、 $A^{'}$ 、C共线，求证： $△ P B C ≌ △ C A^{'} D$ ．

(2)、操作二：如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ．先将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在矩形 $A B C D$ 的内部，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，折痕为 $D P$ ．然后沿过点D的直线折叠，使点C落在直线 $D A^{'}$ 上，折痕为 $D G$ ，点C的对应点为点 $C^{'}$ ．再将矩形沿过点G的直线继续折叠，折痕为 $G H$ ，点B的对应点为点 $B^{'}$ ．我们发现，点H的位置不同，点B的位置也不同．当点 $B^{'}$ 恰好与点 $C^{'}$ ．重合时，线段 $A H$ 的长为．

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23. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ．动点P从点A出发，在 $A B$ 上以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿折线 $B C - C A$ 以每秒7个单位长度的速度向终点A运动，当点Q不与点C重合时，以 $P Q$ 、 $Q C$ 为邻边作平行四边形 $P Q C E$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、用含t的代数式表示线段 $C Q$ 的长；

(2)、当点E在 $R t △ A B C$ 内部时，求t的取值范围；

(3)、当 $R t △ A B C$ 的边将平行四边形 $P Q C E$ 的面积分为1：2两部分时，求t的值；

(4)、如图②，点D为 $A B$ 的中点，连接 $D Q$ ，作点C关于直线 $D Q$ 的对称点 $C'$ ，当 $C' Q ∥ A B$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）的对称轴为直线 $x = 1$ ，且经过点 $A (2 ， 3)$ ．点P在该抛物线上，其横坐标为m．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，求函数y的最大值和最小值；

(3)、将此抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G，当图象G与直线 $y = 2 m + 1$ 只有一个公共点时，求m的取值范围；

(4)、设点Q的坐标为 $(- 1 ， 3 - m)$ ，当 $P Q$ 不与坐标轴平行时，以 $P Q$ 为对角线构造矩形 $P M Q N$ ，且 $P M ⊥ y$ 轴．当拋物线与矩形 $P M Q N$ 的边只有两个交点，且交点的纵坐标之差为 $\frac{9}{4}$ 时，直接写出m的值

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