吉林省长春市宽城区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若 $b > a$ ，则b的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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2. 太阳的体积约为1400000000000000000立方千米，将1400000000000000000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $14 \times 1 0^{17}$ B、 $1.4 \times 1 0^{18}$ C、 $1.4 \times 1 0^{19}$ D、 $0.14 \times 1 0^{19}$

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3. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > - 1 \\ 3 - x \geq 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x \leq 2$ C、 $- 1 < x \leq 2$ D、无解

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5. 将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中 $∠ 1$ 的大小为（）

A、 $100 °$ B、 $105 °$ C、 $115 °$ D、 $120 °$

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6. 如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆 $A B$ 的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为 $α$ ．若测角仪 $C D = a$ ， $B C = b$ ，则旗杆 $A B$ 的高度为（）

A、 $a + b c o s α$ B、 $a + \frac{b}{c o s α}$ C、 $a + b t a n α$ D、 $a + \frac{b}{t a n α}$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是弦， $A D$ 垂直于过点C的切线，垂足为点D．若 $∠ C A D = 37 °$ ，则 $∠ C A B$ 的大小为（）．

A、 $37 °$ B、 $53 °$ C、63° D、 $74 °$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象经过A、B两点．连结 $A B$ 、 $O B$ ，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴于点C，交 $O B$ 于点D．若 $\frac{O D}{B D} = \frac{1}{2}$ ， $S_{△ A B D} = 4$ ，则k的值为（）

A、2 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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二、填空题

9. 分解因式： $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} =$ ．

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10. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 $A$ $（ - 2 ， 0 ）$ ，点 $B$ $（ 0 ， 1 ）$ ．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．以点C为圆心， $C A$ 长为半径作弧交 $A B$ 于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线 $C E$ ，交 $A B$ 于点F．若 $∠ B = 55 °$ ，则 $∠ A C F$ 的大小是度．

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13. 如图， $⊙ O$ 是等边 $△ A B C$ 的外接圆．若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长是（结果保留 $π$ ）．

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14. 在平面直角坐标系中，点 $A (m ， y_{1})$ 、 $B (m + 1 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ 上．当 $y_{1} < y_{2}$ 时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图像的最高点的纵坐标为3，则m的值为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $2 (a + 1) (a - 1) - a (2 a + 3)$ ，其中 $a = \frac{1}{3}$ ．

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16. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“A（即兴演讲）B（朗诵短文）、C（电影片段配音）”这三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加了测试，请用画树状图（或列表）的方法，求这两位同学恰好都抽到A（即兴演讲）测试项目的概率．

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17. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树600棵所需时间与原计划植树450棵所需时间相同，求实际每天植树的棵数．

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18. 图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．

(1)、在图①中作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ ．

(2)、在图②、图③中，过点C作一条直线 $C E$ ，使点A、B到直线 $C E$ 的距离相等，图②、图③所画直线 $C E$ 不相同．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $B D$ 垂直平分 $A C$ ，点E是 $O B$ 上一点，且 $∠ E A O = ∠ D C O$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是菱形．

(2)、若点E是 $O B$ 的中点， $C D = 5$ ， $A C = 8$ ，则 $t a n ∠ A B D$ 的值为．

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20. 为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、B、C三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、B、C三类课程的成绩情况统计图如下：

(1)、例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生B类课程的成绩是80分，C类课程的成绩是80分．
①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生C类课程的成绩是分．
②学生丙C类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是分．

(2)、在图③中补全这20名学生B类课程成绩的频数分布直方图．
（数据分成7组： $30 \leq x < 40$ ， $40 \leq x < 50$ ， $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）

(3)、学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数．

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21. 装有一个进水管和一个出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，6分钟时，再打开出水管排水，16分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．

(1)、进水管注水的速度为升/分钟．

(2)、当 $6 \leq x \leq 16$ 时，求y与x之间的函数关系式．

(3)、求a的值．

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22.

(1)、【问题原型】如图①，在 $△ A B C$ ， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，求点C到 $A B$ 的距离．

(2)、【问题延伸】如图②，在 $△ A B C$ ， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ．若点M在边 $B C$ 上，点P在线段 $A M$ 上，连结 $C P$ ，过点P作 $P Q ⊥ A B$ 于Q，则 $C P + P Q$ 的最小值为．

(3)、【问题拓展】如图（3），在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ．点E在边 $A D$ 上，点M在边 $A B$ 上，点F在线段 $C M$ 上，连结 $E F$ ．若 $∠ B C M = 30 °$ ，则 $C F + 2 E F$ 的最小值为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点D为边 $A C$ 的中点．点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿 $C B$ 向终点B运动．以 $C P$ 为边作正方形 $C P M N$ ，点N在边 $A C$ 上．设点P的运动时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、用含t的代数式表示线段 $D N$ 的长．

(2)、连接 $C M$ ，则 $∠ M C A =$ 度；当点D与点M的距离最短时，线段 $D N$ 的长为．

(3)、连接 $P D$ ，当 $P D$ 将正方形 $C P M N$ 的面积分为3：5两部分时，求t的值．

(4)、作点C关于直线 $D M$ 的对称点 $C^{'}$ ，当点 $C^{'}$ 、点M到 $△ A B C$ 的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0 ， - 1)$ 和点 $B (6 ， 5)$ ．点P在直线 $A B$ 上运动（点P不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为m．

(1)、求这条抛物线所对应的函数表达式．

(2)、求线段 $P Q$ 的长．（用含m的代数式表示）

(3)、以 $P Q$ 为边作矩形 $P Q M N$ ，使 $P N ∥ x$ 轴，且点N的横坐标为 $2 m - 1$ ．
①当矩形 $P Q M N$ 的面积被坐标轴平分时，求m的值．
②当矩形 $P Q M N$ 的周长随m的增大而增大，且矩形 $P Q M N$ 的边与抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 有两个交点时，直接写出m的取值范围．

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