广东省揭阳市榕城区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果 $+ 60 m$ 表示向东走 $60 m$ ，那么 $- 80 m$ 表示（）

A、向东走 $60 m$ B、向西走 $60 m$ C、向东走 $80 m$ D、向西走 $80 m$

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2. 我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（）

A、 $5.3 \times 1 0^{7}$ B、 $53 \times 1 0^{8}$ C、 $5.3 \times 1 0^{8}$ D、 $5.3 \times 1 0^{9}$

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3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $\frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 1}$ 有意义，则（　　）

A、 $x \leq - \frac{3}{2}$ B、 $x \geq - \frac{3}{2}$ 且 $x \neq 1$ C、 $x \leq - \frac{2}{3}$ D、 $x \leq - \frac{3}{2}$ 且 $x \neq 0$

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5. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：

尺码

$39$

$40$

$41$

$42$

$43$

平均每天销售数量（件）

$10$

$12$

$20$

$12$

$12$

该店主决定本周进货时，增加了一些 $41$ 码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）

A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数

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6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若 $A C = 12$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点O．若 $∠ B O C = 120 °$ ， $A B = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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8. 如图，某书店拿取高处书籍的登高梯 $A C$ 靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的项端已知 $A C = 3$ 米， $∠ C A B = 18 °$ ，则书架第七层顶端离地面的高度 $A B$ 为（）

A、 $\frac{3}{s i n 18 °}$ 米 B、 $3 s i n 18 °$ 米 C、 $\frac{3}{c o s 18 °}$ 米 D、 $3 c o s 18 °$ 米

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $P$ 点是 $B D$ 的中点，若 $C P = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10. 如图，点A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B$ 交x交于点C，若 $O A = O B$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，则 $△ A O C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、6 D、9

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二、填空题

11. 若m、n是方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则m+n的值为．

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12. 因式分解： $x^{3} - x$ = ．

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13. 往直径为 $52 c m$ 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽 $A B = 48 c m$ ，则水的最大深度为cm．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交 $B A$ 、 $B C$ 边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于 $\frac{1}{2} P Q$ 为半径画弧，两弧交于点M，连接 $B M$ 交 $A C$ 于点E，过点E作ED $∥$ BC交 $A B$ 于点D，若 $A B = 5$ ， $A E = 3$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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15. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为8，点P是边 $B C$ 上的动点，将 $△ A B P$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A C Q$ ，点D是边 $A C$ 的中点，连接 $D Q$ 、 $P Q$ ，当 $D Q$ 最短时， $P Q$ 的长为．

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三、解答题

16. 计算： ${(- 2023)}^{0} + | - \sqrt{2} | - 2 c o s 45 ° - \sqrt[3]{216}$ ．

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17. 先化简，再求值： $(m + 2 - \frac{5}{m - 2}) \div \frac{3 m - m^{2}}{m - 2}$ ，其中 $m = 5$ ．

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18. 如图，将 $▱ A B C D$ 的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F， $A E = C F$ ．求证：四边形DEBF是平行四边形．

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19. 为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．

(1)、该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是；

(2)、用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．

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20. 为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级．已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需 $220$ 元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需 $380$ 元．

(1)、求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；

(2)、若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共 $30$ 副，且支出不超过 $2600$ 元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？

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21. 已知等边 $△ A B C$ ，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点

(1)、如图1， $∠ A D B = ∠ C E B = 60 °$ ，求证： $A D = B E$

(2)、如图2， $∠ A D B = ∠ C E B = 90 °$ ， $B D = 1$ ， $B E = 2$ ，求AD的长．

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22. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．直线 $l ： y = x + m$ 经过A、C两点．

(1)、求直线l和抛物线的解析式；

(2)、如图2，将位于x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折形成“W”图象，将直线l向上平移n个单位得到直线b．当直线b与“W”图象有两个交点时，求n的取值范围．

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23. 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接 $O P$ ，作线段 $O P$ 的中点A；
②以A为圆心，以 $A O$ 为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接 $P Q$ 、 $P R$ ，则 $P Q$ 、 $P R$ 是圆O的切线．

(1)、按照上述作图步骤在图1中补全图形；

(2)、为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“ $P Q$ 、 $P R$ 是圆O的切线”的过程；

(3)、如图2，连接 $Q O$ 并延长交圆O于点B，连接 $B R$ ，已知 $B R = 2$ ， $P Q = 2 \sqrt{5}$ ，求圆O的半径．

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尺码	$39$	$40$	$41$	$42$	$43$
平均每天销售数量（件）	$10$	$12$	$20$	$12$	$12$