广东省江门市新会区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中是无理数的是（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{4}$ D、 $π$

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2. 下列运算正确的是（）

A、2a＋3a＝5a² B、6m²﹣5m²＝1 C、a⁶÷a³＝a² D、（﹣a²）³＝﹣a⁶

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3. 水是由氢原子和氧原子组成的，其中氧原子的直径是0.000000000074米，用科学记数法可表示为（　　）

A、0.74×10^-¹⁰米 B、74×10^-¹²米 C、7.4×10^-¹⁰米 D、7.4×10^-¹¹米

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4. 有5名同学，3男2女，现随机抽2人参加课外学习小组活动，其中一定抽到女同学的概率是（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 9 - 3 x > 0 \\ 7 - 2 x \leq 5 \end{array}$ 的解集在以下数轴表示中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如下图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（）

A、圆锥 B、圆柱 C、三棱锥 D、三棱柱

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7. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点 $E$ ， $∠ B C D$ 的平分线交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $A B = 3 ， A D = 4$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、1 B、2 C、2.5 D、3

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9. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y $= \frac{k}{x}$ 相交于点D ，且OD：OB＝2：3，则k的值为（）

A、12 B、﹣12 C、16 D、﹣16

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点O是斜边 $A B$ 边上一点，以O为圆心， $O A$ 为半径作圆， $⊙ O$ 恰好与边 $B C$ 相切于点D，连接 $A D$ ，若 $A D = B D$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，则 $C D$ 的长度为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知方程组 ${\begin{matrix} x + 3 y = - 1 \\ 3 x + y = 9 \end{matrix}$ ，则x+y=.

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12. 两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是 $12$ ”．乙同学说：“这个反比例函数图象与直线 $y = x$ 有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的解析式是．

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13. 半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是cm．

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14. 如图， $O A$ 是 $⊙ O$ 的一条半径，点P是 $O A$ 延长线上一点，过点P作 $⊙ O$ 的切线 $P B$ ，点B为切点．若 $P A = 1$ ， $P B = 2$ ，则 $s i n ∠ O P B =$ ．

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15. 在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \cdot \cdot \cdot$ 的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设 $x = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \cdot \cdot \cdot$ ．则有 $x = 1 + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \cdot \cdot \cdot)$ ，即 $x = 1 + \frac{1}{2} x$ ，解得 $x = 2$ ，故 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \cdot \cdot \cdot = 2$ ．
类似地，请你计算： $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{3^{6}} + \frac{1}{3^{8}} + \cdot \cdot \cdot =$ ．（直接填计算结果即可）

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三、解答题

16. 计算： $2 c o s 30 ° - \frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12} - {(- 1)}^{2023}$

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17. 解分式方程： $\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^{2} - 1}$ ．

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18. 如图，反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象与一次函数 $y = k x + b$ 的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为-3．

(1)、根据图象信息可得关于x的方程 $\frac{m}{x} = k x + b$ 的解为；

(2)、求一次函数的解析式．

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19. 为了解市民对江门市创建全国文明城市工作的满意程度，某学校数学兴趣小组在骏景湾小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，有意隐去了一些数据，得到不完整的统计图表，设计了一道数学题．
请结合图中的信息，解决下列问题：

(1)、请求出接受问卷调查的人数，并补全条形统计图；

(2)、请求出扇形统计图中“满意”部分的圆心角度数；

(3)、该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的 $4$ 位市民中随机选择 $2$ 位进行回访，已知这 $4$ 位市民中有 $2$ 位男性， $2$ 位女性．请用画树状图或列表的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．

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20. 某商城销售一新款耳机，每件进价为30元，经过试销发现，该耳机每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如下关系： $y = - x + 60$ ．

(1)、求该商店销售这款耳机每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；

(2)、销售单价定为多少时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是多少元?

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21. 如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．

(1)、求证：AD＝CF；

(2)、在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由．

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22. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点A的直线交 $C D$ 的延长线于点E，连接 $A D$ ，且 $A D = D E$ ， $∠ D A B = ∠ A C D$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $∠ B = 60 °$ ， $∠ B A C = 75 °$ ，求 $A B$ 和 $B C$ 的长度．

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23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 3 a x + c (a > 0)$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点C的坐标为为 $(0 ， - 3)$ ．

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形﹖若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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