北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学认识分式期末复习

试卷更新日期：2023-05-15 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如果 $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ 是二次根式，那么 $x$ 应满足的条件是（）

A、 $x \neq 2$ 的实数 B、 $x > 2$ 的实数 C、 $x < 2$ 的实数 D、 $x > 0$ 且 $x \neq 2$ 的实数

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2. 要使代数式 $\frac{x}{\sqrt{x + 1}}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x \neq 0$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$

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3. 式子 $\frac{1}{π} ， \frac{3}{2 x} ， \frac{9 + π}{20} ， \frac{a - b}{a + b} ， \frac{x^{2} + 1}{2}$ 中，分式的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 使代数式 $\frac{1}{\sqrt{x + 2}} - \sqrt{3 - 2 x}$ 有意义的整数x有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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5. 当x＝4时，下列分式没有意义的是（）

A、 $\frac{x - 1}{x}$ B、 $\frac{x}{4 - x}$ C、 $\frac{3}{2 x - 2}$ D、 $\frac{x}{x + 4}$

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6. 把分式 $\frac{2 x + y}{5 x y - y^{2}}$ 中的x，y的值都扩大为原来的8倍，则分式的值（）

A、不变 B、为原分式值的 $\frac{1}{8}$ C、为原分式值的8倍 D、为原分式值的 $\frac{1}{64}$

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7. 若 $\frac{3}{a - 1}$ 表示一个整数，则整数a可取的值共有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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8. 若分式 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3 x}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、 $-$ 3 C、3或 $-$ 3 D、0或3

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9. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x - y}{x^{2} + y^{2}}$ B、 $\frac{m - 1}{1 - m}$ C、 $\frac{x - y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ D、 $\frac{2 a}{4 b}$

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10. 要使式子 $\frac{3}{\sqrt{6 - 2 x}}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x < 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq 3$ D、 $x \neq 3$

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二、填空题

11. 若式子 $\frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是

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12. 若分式 $\frac{x^{2} - 16}{4 - x}$ 的值为0，则x＝.

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13. 当 x＝时，分式 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ 的值为 0.

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14. 要使分式 $\frac{x - 1}{4 x + 2}$ 有意义，x的取值范围是

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15. 写出一个只含字母x的分式，且当x=9时，分式的值是－1，这个分式可以是．

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三、解答题

16. 已知 $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ＝5，求 $\frac{3 a + 2 a b - 3 b}{a - a b - b}$ 的值．

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17. 已知实数a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，求 $(a^{5} + b^{5} + c^{5}) \div a b c$ 的值.

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18. 当m为何值时，分式 $\frac{m^{2} - 4}{m^{2} - m - 6}$ 的值为0？

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四、综合题

19. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.任何一个假分式都可以化作整式与真分式的和的形式.
如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ； $\frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 - 5}{x + 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1} + \frac{- 5}{x + 1} = 2 + (- \frac{5}{x + 1})$

(1)、下列分式中，属于真分式的是（填序号）；
① $\frac{a - 2}{a + 1}$ ② $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ③ $\frac{a^{2} + 3}{a^{2} - 1}$ ④ $\frac{2 b}{b^{2} + 3}$

(2)、将假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 化为整式与真分式的和的形式： $\frac{4 a + 3}{2 a - 1} =$ ；若假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 的值为正整数，则整数 $a$ 的值为；

(3)、请你写出假分式 $\frac{2 a^{2} + 6}{a - 1}$ 化成整式与真分式的和的形式的完整过程.

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20.

(1)、因式分解：x²y﹣9y ．

(2)、化简 $\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 8 x + 16}$ ．

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21. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；再如： $\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{2}{x}$ 是分式（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、把假分式 $\frac{x - 1}{x + 2}$ 化为带分式的形式（写出过程）；

(3)、如果分式 $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的值为整数，那么x的整数值为．

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22. 阅读材料：小学时，我们学习过假分数和带分数的互化.我们可以将一个假分数化为带分数，如：
$1 \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$\frac{7}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{2 \times 3}{3} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}$ .

初二（1）班学生小杨同学根据学习分数的方法，在学习分式这一章时，对分式进行了探究：

$1 + \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

$\frac{2 x}{x - 3} = \frac{2 (x - 3) + 6}{x - 3} = \frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{6}{x - 3} = 2 + \frac{6}{x - 3}$

根据探究过程，小杨同学说，我可以根据这一探究过程可以分析分式整数解的问题，同学们，你们能吗？

请你帮小杨同学解答下列问题：

(1)、当 $x$ 为整数时，若 $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ 也为整数，求满足条件的所有 $x$ 的值；

(2)、当 $x$ 为整数时，若 $\frac{2 x^{2} + 3 x + 3}{x - 1}$ 也为整数，求满足条件的所有 $x$ 的绝对值之和.

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23. 阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： $\frac{4}{x + 1} ， \frac{x + 1}{x^{2}}$ ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： $\frac{x + 2}{x - 1} ， \frac{x^{2} - 1}{2 x + 1}$ 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.

如： $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 3}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1}$ .

(1)、分式 $\frac{x^{2}}{2 x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、将假分式 $\frac{3 x + 1}{x - 1} 、 \frac{x^{2} + 3}{x + 2}$ 分别化为带分式；

(3)、如果分式 $\frac{2 x^{2} + 3 x - 6}{x + 3}$ 的值为整数，求所有符合条件的整数x的值.

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二、填空题

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