北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学公式法期末复习

试卷更新日期：2023-05-15 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知x＝ $\sqrt{3}$ +1，则x²-2x+1的值为（）

A、0 B、3 C、1 D、 $\sqrt{2} + 1$

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、x²-y²＝（x-y）² B、a²+a+1＝（a+1）² C、2xy-6x＝2x（y-3） D、a²+4a+21＝a（a+4）+21

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3. 已知ab＝2，a-2b＝3，则4ab²-2a²b的值是（）

A、6 B、-6 C、12 D、-12

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4. 下列各式中，能用公式法分解因式的是（）

A、 $x^{2} - x$ B、 $4 x^{2} + 4 x - 1$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $4 x^{2} - 1$

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5. 如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a²b+ab²的值为（）

A、80 B、160 C、320 D、480

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6. 下列因式分解正确的是（）

A、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$ B、 $- x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ C、 $a^{3} - 2 a^{2} + a = a (a^{2} - 2)$ D、 $m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2}$

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7. 利用因式分解计算：3²⁰²²﹣3²⁰²¹的结果为（）

A、2×3²⁰²¹ B、1 C、3 D、3²⁰²¹

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8. $△ A B C$ 的三边分别为a，b，c，且满足 $a^{2} - b^{2} + a c - b c = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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9. 我们知道 $6 - \sqrt{2}$ 的小数部分b为 $2 - \sqrt{2}$ ，如果用a代表它的整数部分，那么 $a b^{2} - a^{2} b$ 的值是（）

A、8 B、－8 C、4 D、－4

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10. 下列单项式中，使多项式 $16 a^{2} + M$ 能用平方差公式因式分解的M是（）

A、a B、 $b^{2}$ C、-16a D、 $- b^{2}$

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二、填空题

11. 已知 $a$ ， $b$ 满足等式 $a^{2} + 6 a + 9 + \sqrt{b - \frac{1}{3}} = 0$ ，则 $a^{2022} b^{2023} =$ .

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12. 分解因式： $x^{2} - 4 y^{2} + x - 2 y =$ .

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13. 如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为．

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14. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 $x^{4} - y^{4}$ ，因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，若取 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，则各个因式的值是： $(x - y) = 0$ ， $(x + y) = 18$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 $x^{3} - 4 x y^{2}$ ，取 $x = 30$ ， $y = 10$ 时，写出一个用上述方法产生的密码．

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15. 如果 $a - b = 3 ， a b = 7$ ，那么 $a^{2} b - a b^{2}$ 的值是.

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三、解答题

16. 甲、乙两个同学因式分解 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了a，分解结果为 $(x + 4) (x - 8)$ ，乙看错了b，分解结果为 $(x - 2) (x + 6)$ ．求多项式 $x^{2} + a x + b$ 分解因式的正确结果．

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17. 已知 $a ， b 、 c$ 是 $△ A B C$ 的三边的长，若满足 $(a - b) b - (b - a) c = 0$ ，试判断此三角形的形状.

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18. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $x + 3$ ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 $x + n$ ，则 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$ ，
即 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ ，
∴ ${\begin{array}{l} n + 3 = - 4 \\ 3 n = m \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} m = - 21 \\ n = - 7 \end{array}$ ．
故另一个因式为 $x - 7$ ， m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式 $x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．

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四、综合题

19. 阅读材料：若m²－2mn＋2n²－8n＋16＝0，求m、n的值．
解：∵m²－2mn＋2n²－8n＋16＝0，
∴（m²－2mn＋n²）＋（n²－8n＋16）＝0，
∴（m－n）²＋（n－4）²＝0，
∴（m－n）²＝0，（n－4）²＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、已知x²－2xy＋2y²＋6y＋9＝0，求 $x$ 、 $y$ 的值；

(2)、已知△АВС的三边长分别为а，b，с都是正整数，且满足a²＋b²－10a－12b＋61＝0，求△ABC的边a、b的值；

(3)、已知a－b＝8，ab＋c²－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．

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20. 下面是某同学对多项式 $（ x^{2} - 4 x + 2 ）（ x^{2} - 4 x + 6 ） + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = a$ ，则原式 $= （ a + 2 ）（ a + 6 ） + 4 （$ 第一步 $）$
$= a^{2} + 8 a + 16 （$ 第二步 $）$
$= （ a + 4 ）^{2} （$ 第三步 $）$
$= （ x^{2} - 4 x + 4 ）^{2} （$ 第四步 $）$
回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的____

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？ $．（$ 填“彻底”或“不彻底” $）$
若彻底，直接跳到第(3)问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果：．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $（ x^{2} - 2 x ）（ x^{2} - 2 x + 2 ） + 1$ 进行因式分解．

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21. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法：
例如： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 4 = {(x - y)}^{2} - 2^{2} = (x - y - 2) (x - y + 2)$ .
②拆项法：

例如： $x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = {(x + 1)}^{2} - 2^{2} = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x - 1) (x + 3)$ .

仿照以上方法分解因式：

(1)、 $4 x^{2} + 4 x - y^{2} + 1$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x + 8$ .

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22.

(1)、因式分解： $- x^{2} y + 6 x y - 9 y$ ；

(2)、解不等式： $3 (x + 2) - 9 \geq - 2 (x - 1)$ ，并把解集表示在如图所示的数轴上．

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23. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{5}{x}$ 是分式（填“真”或“假”）；

(2)、 $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 将假分式化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{3 x - 2}{x + 1}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值.

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北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学 公式法 期末复习

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