北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学因式分解期末复习

试卷更新日期：2023-05-15 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列因式分解正确的是（）

A、x²-y²＝（x-y）² B、a²+a+1＝（a+1）² C、2xy-6x＝2x（y-3） D、a²+4a+21＝a（a+4）+21

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2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）．

A、 $x (a - b) = a x - b x$ B、 $x^{2} - 1 + y^{2} = (x - 1) (x + 1) + y^{2}$ C、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ D、 $a x + b x + c = x (a + b) + c$

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3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、x（x-2）=x²-2x B、（x+1）²=x²+2x+1 C、x²-4=（x+2）（x-2） D、x²+2x+4=（x+1）²+3

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4. 下列因式分解正确的有几个（）
⑴ $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ ；⑵ $x^{2} + 6 x + 10 = (x + 2) (x - 4) + 2$ ；⑶ $7 x^{2} - 63 = 7 (x^{2} - 9)$ ；⑷ $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ；⑸ $y^{2}$ +y+ $\frac{1}{4}$ = ${(y + \frac{1}{2})}^{2}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、a（m+n）＝am+an B、x²﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x C、x²+2x﹣1＝（x﹣1）²﹣2 D、x²﹣25＝（x+5）（x﹣5）

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6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$ B、 $x^{2} + x - 5 = (x - 2) (x + 3) + 1$ C、 $a^{2} b + a b^{2} = a b (a + b)$ D、 $x^{2} + 1 = x (x + \frac{1}{x})$

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7. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}$ B、 $a (x + y) = a x + a y$ C、 $x^{2} - y^{2} + 1 = (x + y) (x - y) + 1$ D、 $x^{2} - 4 = (x + 4) (x - 4)$

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8. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　）

A、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² B、x²﹣2x+1＝（x﹣1）² C、2a﹣1＝a（2﹣ $\frac{1}{a}$ ） D、x²+6x+8＝x（x+6）+8

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9. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、m²+5m+4＝m（m+5）+4 B、m²﹣4m+4＝（m﹣2）² C、a（m﹣n）＝am﹣an D、15m²n＝3m•5mn

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10. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、a²－ab＝a（a－b） B、（a－3）（a＋1）＝a²－2a－3 C、ab＋bc＋d＝b（a＋c）＋d D、6a²b＝3ab·2a

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二、填空题

11. 已知 $a = \sqrt{3} - \sqrt{2} ， b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ =

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12. 若多项式2x²﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m= ．

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13. 若多项式x²﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为

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14. 若4x﹣3是多项式4x²+5x+a的一个因式，则a等于

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15. 若多项式x²+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为

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三、解答题

16. 已知多项式x²+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．

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17. 若x³+3x²﹣3x+k有一个因式x+1，求k的值．

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18. 若x²﹣4x+6是多项式x³+ax²+bx﹣6的一个因式，试确定a、b的值

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四、综合题

19. 仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式为 $x + 3$ ，求另一个因式以及 $m$ 的值.

解：设另一个因式为 $x + n$ ，

由题意得 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$ ，

即 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ ，

则有 ${\begin{matrix} n + 3 = - 4 \\ 3 n = m \end{matrix}$ ，解得 ${\begin{matrix} m = - 21 \\ n = - 7 \end{matrix}$ ，

所以另一个因式为 $x - 7$ ， $m$ 的值是 $- 21$ .

问题：请仿照上述方法解答下面问题，

(1)、若 $x^{2} + b x + c = (x - 1) (x + 3)$ ，则 $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知二次三项式 $2 x^{2} + 5 x + k$ 有一个因式为 $2 x - 3$ ，求另一个因式以及 $k$ 的值.

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20. 仔细阅读下面例题，解答问题.
（例题）已知关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $(x + 3)$ ，求另一个因式及 $m$ 的值.

解：设另一个因式为 $(x + n)$ ，

则 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$ ，即 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ .

$∴ {\begin{array}{l} n + 3 = - 4 ， \\ 3 n = m . \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} m = - 21 ， \\ n = - 7. \end{array}$

∴另一个因式为 $(x - 7)$ ， $m$ 的值为 $- 21$ .

（问题）仿照以上方法解答下面问题：

(1)、已知关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + 7 x + a$ 有一个因式是 $(x - 2)$ ，求另一个因式及 $a$ 的值.

(2)、已知关于 $x$ 的多项式 $2 x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是 $(x + 4)$ ，求 $k$ 的值.

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21.

(1)、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ，这种从左到右的变形是；

(2)、 $(a + b) (2 a - b) = 2 a^{2} + a b - b^{2}$ ，这种从左到右的变形是.

(3)、依据因式分解的意义，因为 $(x + 2 y) (x - 2 y) =$ $x^{2} - 4 y^{2}$ ，所以 $x^{2} - 4 y^{2}$ 因式分解的结果是.

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22. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式： $① \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ； $② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ； $③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ； $④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$ 其中是“和谐分式”是 $($ 填写序号即可 $)$ ；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{({ab}^{2} - b^{3}) b^{2}}$

小强： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．

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23. 下面是某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x²﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4　（第一步）

＝y²+8y+16　（第二步）

＝（y+4）²（第三步）

＝（x²﹣4x+4）²（第四步）

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填序号）．

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解．

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北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学 因式分解 期末复习

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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