北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学不等式的基本性质期末复习

试卷更新日期：2023-05-15 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 若 $a > b$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $a - 2 < b - 2$ B、 $- a > - b$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$

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2. 下列变形正确的是（）

A、由 $a > b$ ，得 $- a < - b$ B、由 $a > b$ ，得 $a c > b c$ C、由 $c - a > c - b$ ，得 $a > b$ D、由 $a > b$ ，得 $a^{2} > b^{2}$

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3. 给出下列命题：①若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ；②若 $a b > c$ ，则 $b > \frac{c}{a}$ ；③若 $- 3 a > 2 a$ ，则 $a < 0$ ；④若 $a < b$ ，则 $a - c < b - c$ ．其中正确的是（）

A、③④ B、①③ C、①② D、②④

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4. 若m＞n，则下列不等式正确的是（）

A、m－2＜n－2 B、am＞an C、－8m＞－8n D、 $\frac{m}{7} > \frac{n}{7}$

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5. 若 $x < y$ ，且 $(a - 3) x > (a - 3) y$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a < 3$ B、 $a > 3$ C、 $a \geq 3$ D、 $a \leq 3$

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6. 已知： $m > n$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 $m - 2 < n - 2$ B、 $- m > - n$ C、 $2 m > 2 n$ D、 $\frac{m}{3} < \frac{n}{3}$

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7. 已知点P（a，b）在一次函数y＝﹣3x﹣4的图象上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} ≤ \frac{5}{2}$ B、 $\frac{a}{2} \geq \frac{5}{b}$ C、 $\frac{b}{a} \geq \frac{2}{5}$ D、 $\frac{b}{a} ≤ \frac{2}{5}$

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8. 若不等式 $(m + 2) x > m + 2$ 的解集是 $x < 1$ ，则m的取值范围是（）.

A、 $m > 0$ B、 $m < 0$ C、 $m > - 2$ D、 $m < - 2$

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9. 已知a>b，则一定有-4a□-4b，“□”中应填的符号是（）

A、< B、> C、≥ D、＝

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10. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门 $x$ 里见到树，则 $x = \frac{(9 \times \frac{1}{2}) \times (7 \times \frac{1}{2})}{15}$ .若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）.

A、 $2 \sqrt{10}$ 里 B、 $4 \sqrt{10}$ 里 C、 $6 \sqrt{10}$ 里 D、 $8 \sqrt{10}$ 里

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二、填空题

11. 用“>”或“<”填空：若 $- 2 a + 1 < - 2 b + 1$ ，则ab.

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12. 如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1（a≠－1）可以变形为x＜1，那么a的取值范围是．

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13. 若不等式（m﹣1）x＞1的解集是x＜ $\frac{1}{m - 1}$ ，则m的取值范围是．

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14. 若 a>b，则﹣2a﹣2b.（用“<”号或“>”号填空）

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15. 下列结论正确的有（填序号）．
①如果 $a > b$ ， $c < d$ ；那么 $a - c > b - d$ ②如果 $a > b$ ；那么 $\frac{a}{b} > 1$ ③如果 $a > b$ ，那么 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；

④如果 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，那么 $a < b$ ．

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三、解答题

16. 赵军说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a，就会出现2＞3这样的错误结论．你同意他的说法对吗？若同意说明其依据，若不同意说出错误的原因．

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17. 现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．
请解决以下两个问题：
（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；
（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．

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18. 分别求出当m＞1和m＜1时，关于x的不等式（m﹣1）x≥1﹣m的解集．

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四、综合题

19. 阅读理解：
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．

例如： $x^{2} + 4 x - 5 = x^{2} + 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = (x + 2)^{2} - 9 = (x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = (x + 5) (x - 1)$ ．

观察上述因式分解的过程，回答下列问题：

(1)、因式分解 $x^{2} + 2 x - 3$ ；

(2)、试说明多项式 $x^{2} - 6 x + 12$ 的值总是一个正数．

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20. 已知关于x、y的方程组 ${\begin{matrix} x - y = 11 - m \\ x + y = 7 - 3 m \end{matrix}$ 中，x为非负数、y为负数.

(1)、试求m的取值范围；

(2)、当m取何整数时，不等式3mx+2x>3m+2的解集为x<1.

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21. 设函数y₁＝ax+b，y₂＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y₁和y₂的图象的交点为点P.

(1)、求点P的横坐标.

(2)、已知点P在第一象限，函数y₂的值随x的增大而增大.
①当x＝2时，y₂﹣y₁＝2，求a的取值范围.

②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y₁﹣y₂＜ $\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$

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22. 某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）.方案一如图甲所示，绿化带面积为 $S_{甲}$ ；方案二如图乙所示，绿化带面积为 $S_{乙}$ .

(1)、请用含a，b的代数式表示 $S_{甲}$ 和 $S_{乙}$ .

(2)、设 $k = \frac{S_{甲}}{S_{乙}} (a > b > 0)$ ，求k的取值范围.

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23. 阅读材料：
对于两个正数a、b，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当且仅当a＝b时取等号）.

当 $a b$ 为定值时， $a + b$ 有最小值；当 $a + b$ 为定值时， $a b$ 有最大值.

例如：已知 $x > 0$ ，若 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求 $y$ 的最小值.

解：由 $a + b$ ≥ $2 \sqrt{a b}$ ，得 $y = x + \frac{1}{x}$ ≥ $2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \times \sqrt{1} = 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即 $x = 1$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $2$ .

根据上面的阅读材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，若 $y = 4 x + \frac{9}{x}$ ，则当 $x =$ 时， $y$ 有最小值，最小值为；

(2)、已知 $x > 3$ ，若 $y = x + \frac{9}{x - 3}$ ，则 $x$ 取何值时， $y$ 有最小值，最小值是多少？

(3)、用长为 $100 m$ 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

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北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学 不等式的基本性质 期末复习

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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