湖北省十堰市郧阳区2023年中考数学质检试卷（3月份）

试卷更新日期：2023-05-15 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. $| - 2023 | =$ （）

A、2023 B、-2023 C、 $- \frac{1}{2023}$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot b^{3} = (a b)^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$

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4. 如图，某同学在做“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长 $.$ 能正确解释这一现象的数学知识是（）

A、过一点有无数条直线 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、以上说法都不正确

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5. 某课外学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩分别是：120，100，135，100，125，则他们的成绩的平均数和众数分别是（）

A、116和100 B、116和125 C、106和120 D、106和135

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6. 我国明代数学读本 $《$ 算法统宗 $》$ 中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两 $.$ 问客人有几人？设客人有 $x$ 人，则可列方程为（）

A、 $7 x + 4 = 9 x - 8$ B、 $7 x - 4 = 9 x + 8$ C、 $\frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9}$ D、 $\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$

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7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚 $A D$ 和 $B C$ 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 $3$ 的地方 $($ 即同时使 $O A = 3 O D$ ， $O B = 3 O C)$ ，然后张开两脚，使 $A$ 、 $B$ 两个尖端分别在线段 $l$ 的两个端点上，若 $C D = 4 c m$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、 $16 c m$ B、 $12 c m$ C、 $8 c m$ D、 $6 c m$

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8. 如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）

A、5cosα B、 $\frac{5}{\cos α}$ C、5sinα D、 $\frac{5}{\sin α}$

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9. 如图，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 恰好过 $B C$ 的中点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ，连接 $O D$ ，则下列结论中： $① O D / / A C$ ； $② ∠ B = ∠ C$ ； $③ 2 O A = A C$ ； $④ ∠ E D A = ∠ B$ ，其中一定正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，点 $A$ 是二次函数 $y = \sqrt{3} x^{2}$ 图象上的一点，且位于第一象限，点 $B$ 是直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 上一点，点 $B'$ 与点 $B$ 关于原点对称，连接 $A B$ ， $A B'$ ，若 $△ A B B'$ 为等边三角形，则点 $A$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{9} \sqrt{3})$ B、 $(\frac{2}{3} ， \frac{4}{9} \sqrt{3})$ C、 $(1 ， \sqrt{3})$ D、 $(\frac{4}{3} ， \frac{16}{9} \sqrt{3})$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务390000用科学记数法表示为．

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12. 不等式 $6 x + 5 > 3 x + 8$ 的解集为．

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13. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是.

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14. 将字母“ $C$ ”，“ $H$ ”按照所示的规律摆放，依次下去，则第10个图形中“ $H$ ”的个数是．

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15. 如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．

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16. 【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔 $\cdot$ 德 $\cdot$ 费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 $P$ 的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法 $.$ 如图1，我们可以将 $△ B P C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ B D E$ ，连接 $P D$ ，可得 $△ B P D$ 为等边三角形，故 $P D = P B$ ，由旋转可得 $D E = P C$ ，因 $P A + P B + P C = P A + P D + D E$ ，由两点之间线段最短可知， $P A + P B + P C$ 的最小值与线段 $A E$ 的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形 $A B C$ 内部有一动点 $P$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，若 $A B = 3$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。）

17. 计算： ${(π - \sqrt{5})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \sin 30 ° + | - \sqrt{9} |$

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18. 先化简，再求值： $（ \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ ．

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19. 已知一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (- 3 ， 2)$ 、 $B (1 ， n)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、结合图象直接写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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20. 某校七年级数学备课组在“互联网 $+$ ”教学模式下进行 $《$ 一元一次方程 $》$ 章节教学前，设计了如下四种预习方案：
方案 $A .$ 教材预习

方案 $B .$ 导学案预习

方案 $C .$ 导学案 $+$ 课外教辅资料预习

方案 $D .$ 前置学习单 $+$ 课前微课预习

为达到良好的预习效果，备课组教师将上述预习方案作为调查内容发到全年级800名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他们随机抽取部分学生的调查问卷进行统计，并根据统计数据画出如下不完整的两幅统计图．

请根据已有的信息完成下列任务：

(1)、备课组教师抽取了名学生的调查问卷；

(2)、计算扇形统计图中方案 $A$ 的圆心角的度数是 ▲ ，并补全条形统计图；

(3)、估计该校七年级同学中选择“方案 $D$ ”这种预习方案的有多少人？

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21. 如图，平行四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 20 c m$ ， $B D = 12 c m$ ， $E$ 、 $F$ 是对角线 $A C$ 上的两个动点，点 $E$ 从点 $A$ 开始向点 $C$ 匀速运动，点 $F$ 从点 $C$ 开始向点 $A$ 匀速运动，点 $E$ 和点 $F$ 同时出发，且运动速度均为 $2 c m / s$ ．

(1)、求证：当 $E$ 、 $F$ 运动过程中不与点 $O$ 重合时，四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若四边形 $B E D F$ 为矩形，求动点 $E$ 、 $F$ 运动时间．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 和过点 $C$ 的直线互相垂直，垂足为 $D$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，且 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $B C$ ，若 $B C = 3$ ， $A C = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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23. 服装店销售进价为30元 $/$ 件的运动服，市场调查发现：当售价为50元 $/$ 件时，月销售量为500件；每提价1元，月销售量减少10件．若该运动服提价后的售价为 $x ($ 元 $/$ 件 $) (x$ 为整数 $)$ ，月销售量为 $y ($ 件 $)$ ，月利润 $W ($ 元 $)$ ，请解答下列问题：

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式和自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、当售价为多少元时，月利润 $W ($ 元 $)$ 最大，最大月利润是多少元？

(3)、若商场规定运动服销量不少于300件 $/$ 月，且月利润不低于11250元时，求售价 $x$ 的取值范围．

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24. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $M$ 为线段 $A D$ 上一点 $($ 不与 $A$ ， $D$ 重合 $)$ ，在线段 $B D$ 上取点 $N$ ，使 $D M = D N$ ，连接 $A N$ ， $C M$ ．

(1)、观察猜想：线段 $A N$ 与 $C M$ 的数量关系是， $A N$ 与 $C M$ 的位置关系是；

(2)、类比探究：将 $△ D M N$ 绕点 $D$ 旋转到如图2所示的位置，请写出 $A N$ 与 $C M$ 的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；

(3)、问题解决：已知 $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $D M = 3$ ，将 $△ D M N$ 绕点 $D$ 旋转，当以 $A$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出 $B N$ 的长．

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25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 3 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 3)$ ，点 $M$ 是线段 $O B$ 上一个动点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $B C$ 于点 $F$ ，交抛物线于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $△ B C E$ 面积最大时，求 $M$ 点的坐标；

(3)、如图2，是否存在以点 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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