湖北省十堰市茅箭区2023年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2023-05-15 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. $- \sqrt{11}$ 的绝对值是（）

A、 $- \sqrt{11}$ B、11 C、 $\sqrt{11}$ D、-11

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2. 由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{5} - 2 \sqrt{5} = - 2$ B、 $6 a^{4} b \div 2 a^{3} b = 3 a b$ C、 $(- 2 a^{2} b)^{3} = - 8 a^{6} b^{3}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．

成绩/分	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
人数	■	■	1	2	3	5	6	8	10	12

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

A、平均数，方差 B、中位数，方差 C、中位数，众数 D、平均数，众数

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5. 甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了120个零件，设甲每小时能做 $x$ 个零件，根据题意可列分式方程为（）

A、 $\frac{90}{x} = \frac{120}{35 - x}$ B、 $\frac{120}{x} = \frac{90}{35 - x}$ C、 $\frac{90}{x} = \frac{120}{35 + x}$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{90}{35 + x}$

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6. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 4}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \geq - 1$ 且 $x \neq 2$ C、 $x \neq \pm 2$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 2$

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7. 根据图中数字的规律，若第 $n$ 个图中的 $q = 168$ ，则 $p$ 的值为（）

A、121 B、144 C、169 D、196

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8. 如图，直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C$ 为切点， $O D / / A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $O C$ ， $E C$ ， $E D$ ，则 $∠ C E D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一动点 $($ 不与 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ， $∠ A D E = ∠ B = α$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，且 $c o s a = \frac{4}{5} .$ 下列结论： $①$ 当 $B D = 6$ 时， $△ A B D$ 与 $△ D C E$ 全等； $② △ A D E$ ∽ $△ A C D$ ； $③ △ D C E$ 为直角三角形时， $B D$ 为 $8$ 或 $\frac{25}{2}$ ； $④ C D^{2} = C E \cdot C A .$ 其中正确的结论有几个（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图已知反比例函数 $C_{1}$ ： $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象如图所示，将该曲线绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 得到曲线 $C_{2}$ ，点 $N$ 是由曲线 $C_{2}$ 上一点，点 $M$ 在直线 $y = - x$ 上，连接 $M N$ 、 $O N$ ，若 $M N = O N$ ， $△ M O N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、-2 D、-1

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 据报道，春节期间微信红包收发高达320000000次，数字320000000科学记数法表示为．

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12. 不等式 $2 x - 1 > 5$ 的解集是．

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13. 小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在 $A$ 点观测旗杆顶端 $E$ 的仰角为 $30 °$ ，接着朝旗杆方向前进20米到达 $C$ 处，在 $D$ 点观测旗杆顶端 $E$ 的仰角为 $60 °$ ，则旗杆 $E F$ 的高度为米 $. ($ 结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 10$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $D F ⊥ A E$ ，垂足为 $F .$ 若 $D F = 6$ ，则线段 $E F$ 的长为．

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15. 如图，将半径为6的半圆，绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ ，使点 $B$ 落到点 $B'$ 处，则图中阴影部分的面积是．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 4$ ，线段 $B C$ 绕点 $B$ 旋转到 $B D$ ，连 $A D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $C E$ ，则 $C E$ 的最大值是．

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三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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四、解答题（本大题共8小题，共67.0分。）

18. 计算： $- 1^{2023} + \sqrt{27} + (π - 3.14)^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m - 3) x - m = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 19$ ，求 $m$ 的值．

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20. 2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查 $($ 每人必选且只能选一类 $)$ ，先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

(1)、本次随机调查了多少名学生？

(2)、若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．

(3)、学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率 $. ($ 书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示 $)$

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21. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $O B$ ， $O D$ 的中点，延长 $A E$ 至 $G$ ，使 $E G = A E$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ ≌ $△ C D F$ ；

(2)、当 $A B$ 与 $A C$ 满足什么数量关系时，四边形 $E G C F$ 是矩形？请说明理由．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ， $D A$ 平分 $∠ B D E$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $A E = 4 c m$ ， $C D = 6 c m$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中 $40 ≤ x ≤ 70$ ，且x为整数）

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

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24. 如图 $1$ ，正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 、 $F$ 分别为正方形 $A B C D$ 边 $A B$ 、 $A D$ 上的点， $E F ⊥ A C$ 交于点 $M$ ， $N$ 为 $B F$ 中点．

(1)、若 $A B = 8$ ， $E$ 为 $A B$ 中点， $△ A E F$ 绕点 $A$ 旋转过程中，直接写出点 $M$ 与点 $C$ 的最大距离与最小距离之差．

(2)、请直接写出 $O N$ 与 $O M$ 的数量关系．

(3)、若将 $△ A E F$ 绕点 $A$ 旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴的正、负半轴分别交于点 $B$ 、 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A B = 5$ ， $t a n ∠ C A B = 3$ ， $O C$ ： $O B = 3$ ：4．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、设该抛物线的对称轴分别与 $x$ 轴、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，求 $E F$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，联结 $C E$ ，如果点 $P$ 在该抛物线的对称轴上，当 $△ C E P$ 和 $△ C E B$ 相似时，求点 $P$ 的坐标．

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