湖北省恩施市2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-05-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2023$ 的相反数等于（）

A、 $- 2023$ B、2023 C、 $\pm 2023$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 如图几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 函数y= $\frac{x}{\sqrt{x - 1}}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、x＞0 B、x＞1 C、x＞0且x≠1 D、x≥0且x≠1

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4. 一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“山”字相对的字是（）

A、水 B、绿 C、建 D、共

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{16} \div x^{4} = x^{4}$ B、 ${(a^{5})}^{2} = a^{10}$ C、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{4}$ D、 $b^{3} \cdot b^{3} = 2 b^{3}$

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6. 某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：

年龄/岁

13

14

15

16

人数

5

23

▃

▃

由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（）

A、平均数、众数 B、众数、中位数 C、平均数、方差 D、中位数、方差

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7. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=45°，那么∠BAF的大小为（　　）

A、15° B、10° C、20° D、25°

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8. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（ $1275$ 年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）﹒问阔及长各几步．”若设阔为 $x$ 步，则可列方程（）

A、 $x (x + 12) = 864$ B、 $x (x - 12) = 864$ C、 $x (x + 6) = 864$ D、 $x (x - 6) = 864$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点C为圆心， $C B$ 长为半径画弧，交 $A B$ 于点B和D，分别以点B，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 长为半径画弧，两弧交于点M，作射线 $C M$ 交AB于点E，若 $A E = 5 ， B E = 1$ ，则 $E C$ 的长度为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、2 $\sqrt{3}$

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10. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点M是边 $A B$ 上一点（不与点A，B重合），作 $M E ⊥ A C$ 于点E， $M F ⊥ B C$ 于点F，则 $E F$ 的最小值是（）

A、2 B、2.4 C、2.5 D、2.6

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11. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B C$ 上以 $3 c m / s$ 的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上以相同速度由点 $C$ 向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当 $△ B D P$ 与 $△ C P Q$ 全等时，点 $P$ 运动的时间是（）

A、 $t = 1 s$ B、 $t = \frac{5}{3} s$ C、 $t = \frac{4}{3} s$ D、 $t = \frac{5}{3} s$ 或 $t = \frac{4}{3} s$

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12. 抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝-2，过点（1，-2）和点（x₀ ， y₀），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am²+bm≥4a-2b；③16a+c＞4b；④若 $x_{0}$ ＞-4，则 $y_{0}$ ＞c．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 13的算术平方根是．

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14. 分解因式： $2 m^{3} - 8 m =$ ．

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15. 如图， $⊙ O$ 内切于 $△ A B C$ ，切点分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，若 $∠ C = 90 °$ ， $A D = 4$ ， $B D = 6$ ，则图中阴影部分的面积是．

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16. 对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，例如： $f (2) = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3}$ ， $f (3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ …利用以上的规律计算： $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{1}{2021}) + ⋯ + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + ⋯ + f (2021) + f (2022) + f (2023) =$ ．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} \div (\frac{8 x}{x - 2} + x - 2)$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，分别交 $B C$ 、 $C D$ 于点 $E$ 、 $F$ ， $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $F H$ ，求证：四边形 $C F H E$ 是菱形．

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19. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：

(1)、共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；

(2)、补全调查结果条形统计图；

(3)、小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

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20. 如图，一艘轮船从点 $A$ 处以 $30 k m / h$ 的速度向正东方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $C$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行 $1 h$ 到达 $B$ 处，这时测得灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向上，已知在灯塔 $C$ 的四周 $40 k m$ 内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由.（提示： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A (- 4 ， 0)$ 、 $B$ 两点，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 交于点 $C$ 、 $D$ 两点， $A B ： B C = 2 ： 1$ ．

(1)、求 $b$ ， $k$ 的值；

(2)、求 $D$ 点坐标并直接写出不等式 $\frac{1}{2} x + b - \frac{k}{x} \geq 0$ 的解集；

(3)、连接 $C O$ 并延长交双曲线于点 $E$ ，连接 $O D$ 、 $D E$ ，求 $△ O D E$ 的面积．

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22. 在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1 棵杉树共需380元．

(1)、求柏树和杉树的单价；

(2)、若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．
①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？
②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是圆上的一点， $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线与 $B C$ 的延长线交于点 $F$ ，与 $B A$ 的延长线交于点 $G$ ，弦 $B D$ 、 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C ∥ F G$ ；

(2)、求证： $C D^{2} = D E · B D$ ；

(3)、若 $D E = 2$ ， $B E = 4$ ，求 $C F$ 的长．

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24. 抛物线 $y = a x^{2} - \frac{11}{4} x + 6$ 与 $x$ 轴交于A、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = k x + b$ 经过点 $B$ 、 $C$ ，已知 $B$ 点坐标为 $(8 ， 0)$ ，点 $P$ 在抛物线上，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求抛物线与直线的解析式；

(2)、如图1，连接 $A C$ ， $A P$ ， $P C$ ，若 $△ A P C$ 是直角三角形，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，若点 $P$ 在直线 $B C$ 下方的抛物线上，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ B C$ ，垂足为 $Q$ ，求 $C Q + \frac{1}{2} P Q$ 的最大值．

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年龄/岁	13	14	15	16
人数	5	23	▃	▃