备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（5）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 抛物线y＝x²－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.

(1)、直接写出点B和点D的坐标；

(2)、如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝ $\frac{1}{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S₁和S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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2. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 由直线 $B C$ 平移得到，与 $y$ 轴交于点 $E (0 ， n)$ .四边形 $M N P Q$ 的四个顶点的坐标分别为 $M (m + 1 ， m + 3)$ ， $N (m + 1 ， m)$ ， $P (m + 5 ， m)$ ， $Q (m + 5 ， m + 3)$ .

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若点 $M$ 在第二象限，直线 $l$ 与经过点 $M$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 有且只有一个交点，求 $n^{2}$ 的最大值；

(3)、当直线 $l$ 与四边形 $M N P Q$ 、抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 都有交点时，存在直线 $l$ ，对于同一条直线 $l$ 上的交点，直线 $l$ 与四边形 $M N P Q$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的交点的纵坐标.
①当 $m = - 3$ 时，直接写出 $n$ 的取值范围；

②求 $m$ 的取值范围.

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3. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ 与直线 $y = x$ 交于原点 $O$ 和点 $B$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，顶点为 $D$ .

(1)、直接写出点 $B$ 和点 $D$ 的坐标；

(2)、如图1，连接 $O D$ ， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，当 $t a n ∠ P D O = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2， $M$ 是点 $B$ 关于抛物线对称轴的对称点， $Q$ 是抛物线上的动点，它的横坐标为 $m (0 < m < 5)$ ，连接 $M Q$ ， $B Q$ ， $M Q$ 与直线 $O B$ 交于点 $E .$ 设 $△ B E Q$ 和 $△ B E M$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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4. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）， $C$ 是第一象限抛物线上一点，直线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $P$ .

(1)、直接写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

(2)、如图（1），当 $O P = O A$ 时，在抛物线上存在点 $D$ （异于点 $B$ ），使 $B$ ， $D$ 两点到 $A C$ 的距离相等，求出所有满足条件的点 $D$ 的横坐标；

(3)、如图（2），直线 $B P$ 交抛物线于另一点 $E$ ，连接 $C E$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $C$ 的横坐标为 $m$ .求 $\frac{F P}{O P}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）.

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5. 已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是抛物线上一动点（不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合），作 $P D ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，连接 $P C$ .
①如图1，若点 $P$ 在第三象限，且 $∠ C P D = 45 °$ ，求点 $P$ 的坐标；

②直线 $P D$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，当点 $E$ 关于直线 $P C$ 的对称点 $E^{'}$ 落在 $y$ 轴上时，求四边形 $P E C E^{'}$ 的周长.

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6. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $y = - x^{2} + c$ 与y轴交于点 $P (0 ， 4)$ .

(1)、直接写出抛物线的解析式.

(2)、如图，将抛物线 $y = - x^{2} + c$ 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

(3)、直线BC与抛物线 $y = - x^{2} + c$ 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)、若将抛物线 $y = - x^{2} + c$ 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 $y = - x^{2} + c$ 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的顶点为A，与y轴交于点C，线段 $C B ∥ x$ 轴，交该抛物线于另一点B.

(1)、求点B的坐标及直线 $A C$ 的解析式：

(2)、当二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的自变量x满足 $m ⩽ x ⩽ m + 2$ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，且 $p - q = 2$ .求m的值：

(3)、平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，使其顶点始终在直线 $A C$ 上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.

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8. 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c + (a < 0)$ 与x轴分则点A和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，对称轴为直线 $x = - 1$ ，且 $O A = O C$ ， P为抛物线上一动点.

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3)、设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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9. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 4$ 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)、A，B，C三点的坐标为，，；

(2)、连接 $A P$ ，交线段 $B C$ 于点D，
①当 $C P$ 与x轴平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的值；

②当 $C P$ 与x轴不平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的最大值；

(3)、连接 $C P$ ，是否存在点P，使得 $∠ B C O + 2 ∠ P C B = 90 °$ ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

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10. 在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x²+2mx-m²+2与y轴交于点C．

(1)、如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；

(2)、在y轴上有一点M（0， $\frac{7}{3}$ m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．

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二、综合题

11. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y ＝ x^{2} + b x + c$ 的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为 $(1 ， 0)$ .直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为 $(- 2 ， - 3)$ .

(1)、求抛物线和直线l的解析式；

(2)、直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段 $B C$ 上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作 $P F ∥ D E$ 交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.当t为何值时，四边形 $P E D F$ 是平行四边形？

(3)、在（2）的条件下，设 $△ B C F$ 的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？

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12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 4 ， 0)$ ，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 $A B$ 与抛物线在第一象限交于点 $C (2 ， 6)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $O C$ ，点Q是直线 $A C$ 上不与A、B重合的点，若 $S_{△ O A Q} = 2 S_{△ O A C}$ ，请求出点Q的坐标；

(3)、在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

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13. 如图，已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}$ 交x轴于点 $A ， B$ ，交y轴于点C.

(1)、直接写出点 $A ， B ， C$ 的坐标；

(2)、将直线 $B C$ 向下平移m个单位，使直线 $B C$ 与抛物线恰好只有一个公共点，求m的值；

(3)、在抛物线上存在点D，使 $t a n ∠ C B D = \frac{1}{2}$ ，求点D的坐标.

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于另一点 $C (- 1 ， 0)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点P，使 $S_{△ P A B} = S_{△ O A B}$ ？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点M为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当 $△ M A B$ 的面积最大时，求 $M N + \frac{1}{2} O N$ 的最小值.

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15. 如图，抛物线y＝-x²+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.

(1)、求抛物线和直线AC的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

(3)、设过E的直线与抛物线相交于点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），求|x₁-x₂|的最小值.

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16. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （ $A$ 在 $B$ 左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、直接写出 $A$ ， $B$ ， $C$ 点的坐标；

(2)、如图，在第三象限的抛物线上求点 $P$ ，使 $∠ C A P = ∠ C A O$ ；

(3)、如图，点 $M$ 为第一象限的抛物线上的一点，过点 $B$ 作 $B N / / A M$ 交抛物线于另一点 $N$ ， $M N$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，且满足 $S_{△ A M E} ： S_{△ B N E} = 9 ： 4$ ，求 $M N$ 的解析式.

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17. 如图1，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图像与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点P为抛物线上一动点.
①如图2，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接 $B C$ ， $B D$ .当 $S_{△ P B C} = 2 S_{△ D B C}$ 时，求点P的坐标；
②如图3，若点P在直线 $B C$ 上方的抛物线上，连接 $O P$ 与 $B C$ 交于点E，求 $\frac{P E}{O E}$ 的最大值.

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18. 如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、 $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于 $C (0 ， - 4)$ .

(1)、求点A的坐标；

(2)、点P在抛物线上，若 $∠ P A B = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，求出点P的坐标；

(3)、如图2，点D在线段 $O B$ 上， $B E ⊥$ 直线 $C D$ 于点E，当 $S_{△ O C D} = 4 S_{△ B E D}$ 时，直接写出点D的坐标.

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19. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a < 0)$ 交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C， $O C = O B = 2 O A$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点T在抛物线上，且 $∠ T B A = ∠ A C O$ ，求点T的坐标；

(3)、如图3，将线段 $C O$ 绕点C逆时针旋转 $α °$ 至 $C D$ （ $0 < α < 90$ ）， $D H ⊥ y$ 轴于H，点P为 $△ C D H$ 的内心，直接写出 $B P$ 的最小值 .

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20. 如图，已知抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，-3），连接BC.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = - \frac{3}{2}$ ，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B.

(1)、①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；

(2)、点E为直线 $A C$ 上方抛物线上的一动点，过点E作 $E D ⊥$ x轴于点G，交 $A C$ 于点D，连接 $A E 、 C E 、 C G$ ，当四边形 $A G C E$ 面积最大时，求出E点的坐标.

(3)、抛物线上是否存在点M，过点M作 $M N ⊥ x$ 轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的 $△ A M N$ 与 $△ A B C$ 相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

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