备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（4）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， $A (1 ， 0)$ ， $A B = 4$ ，点P为线段 $A B$ 上的动点，过P作 $P Q ∥ B C$ 交 $A C$ 于点Q．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求 $△ C P Q$ 面积的最大值，并求此时P点坐标．

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2. 已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求证：∠BOF＝∠BDF ：

(3)、是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长

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3. 已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 5)$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ ， $m$ 的值；

(2)、如图 $1$ ，点 $D$ 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 $D$ 在第一象限内，过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $E$ ，作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $G$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ x$ 轴，垂足为点 $F$ ，当四边形 $DEFG$ 的周长最大时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，点 $M$ 是抛物线的顶点，将 $△ MBC$ 沿 $BC$ 翻折得到 $△ NBC$ ， $NB$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，在对称轴上找一点 $P$ ，使得 $△ PQB$ 是以 $QB$ 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标．

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4. 如图，已知抛物线： $y = - 2 x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A， $B (2 ， 0)$ （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ，P是第一象限内抛物线上的任一点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点D为线段 $O C$ 的中点，则 $△ P O D$ 能否是等边三角形？请说明理由；

(3)、过点P作x轴的垂线与线段 $B C$ 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 $△ B M H$ 相似，求点P的坐标．

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5. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P为抛物线对称轴上一动点，当 $△ P C B$ 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)、在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 $S_{△ B C M} = S_{△ B C P}$ ？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.

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6. 如图，抛物线y＝﹣x²+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.

(1)、直接写出A，B，C三点的坐标；

(2)、求CP+PQ+QB的最小值；

(3)、过点P作PM⊥y轴于点M，当 $△$ CPM和 $△$ QBN相似时，求点Q的坐标.

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7. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0) 、 C (0 ， 3)$ ，并交x轴于另一点B，点 $P (x ， y)$ 在第一象限的抛物线上， $A P$ 交直线 $B C$ 于点D.

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、当点P的坐标为 $(1 ， 4)$ 时，求四边形 $B O C P$ 的面积；

(3)、点Q在抛物线上，当 $\frac{P D}{A D}$ 的值最大且 $△ A P Q$ 是直角三角形时，求点Q的横坐标；

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8. 已知抛物线 $y = - x^{2} - \sqrt{3} x + c$ 经过点（0，2），且与 $x$ 轴交于A、B两点．设k是抛物线 $y = - x^{2} - \sqrt{3} x + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标；M是抛物线 $y = - x^{2} - \sqrt{3} x + c$ 的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．

(1)、求c的值；

(2)、且接写出T的值；

(3)、求 $\frac{k^{4}}{k^{8} + k^{6} + 2 k^{4} + 4 k^{2} + 16}$ 的值．

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二、综合题

9. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B ， C$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是直线 $B C$ 下方抛物线上一动点，求四边形 $A C P B$ 面积最大时点 $P$ 的坐标；

(3)、在抛物线上是否存在点 $M$ ，使 $∠ M C B = ∠ A B C$ ?若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $O C$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $O A$ 、 $O C$ 的长分别是方程 $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ 的两根（ $O A > O C$ ），抛物线 $y = - \frac{5}{32} x^{2} + b x + c$ 过 $B$ 、 $C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，将 $△ O A B$ 沿 $O B$ 折叠，使点 $A$ 落在抛物线上的点 $D$ 处，求 $△ B D E$ 的面积；

(3)、有一平行于 $y$ 轴的动直线 $l$ ，从 $y$ 轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与 $A B$ 重合为止．直线 $l$ 扫过 $△ O B D$ 的面积为 $S$ （如图3的阴影部分），运动时间为 $t$ 秒，试求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并写出相应 $t$ 的取值范围．

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11. 如图9，已知抛物线y＝a(x-1)²+h与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．

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12. 二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 5$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点 $P$ 是第四象限内函数图象上一动点，求出点 $P$ 坐标，使得 $△ B C P$ 的面积最大；
③如图2，点 $Q$ 为第一象限内函数图象上一动点，过点 $Q$ 作 $Q F ⊥ x$ .轴，垂足为 $F$ ， $△ A B Q$ 的外接圆与 $Q F$ 交于点 $D$ ，求 $D F$ 的长度；

(2)、点 $M (x_{1} ， y_{1})$ 、 $N (x_{2} ， y_{2})$ 为函数图象上任意两点，且 $x_{1} < x_{2}$ .若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ 时，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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13. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交点C，连接 $A C ， B C$ ，顶点为M．

(1)、求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)、若D是直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，连接 $O D$ 交 $B C$ 于点E，当 $\frac{D E}{O E}$ 的值最大时，求点D的坐标；

(3)、已知点G是抛物线上的一点，连接 $C G$ ，若 $∠ G C B = ∠ A B C$ ，求点G的坐标．

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14. 如图，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + \frac{10}{3} x + 2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B ， C$ 为线段 $O A$ 上的一个动点，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $A B$ 于点 $D$ ，交该抛物线于点 $E$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、当 $△ B E D$ 为直角三角形时，求点 $C$ 的坐标；

(3)、当 $∠ B E D = 2 ∠ O A B$ 时，求 $△ B E D$ 的面积．

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15. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
图1 备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1， $D$ 是 $B C$ 上方抛物线上一点，连接 $A D$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，若 $A E = 2 D E$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点 $P$ 使得 $∠ P A B = ∠ A B C$ ，如果存在，请求出点 $P$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．连接 $A C$ ， $C D$ ， $A D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $△ A C D$ 的面积；

(3)、若点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $Q$ ， $P$ 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝- $\frac{1}{3}$ x²+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

(3)、点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 3 x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 8)$ ，点P为直线 $B C$ 上方抛物线上的动点，连接 $C P ， P B$ ，直线 $B C$ 与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求直线 $B C$ 的解析式；

(3)、求 $△ B C P$ 的面积最大值．

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19. 如图，抛物线经过 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ 三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在直线 $A C$ 下方的抛物线上有一点D，使得 $△ D C A$ 的面积最大，求点D的坐标以及 $△ D C A$ 的面积的最大值．

(3)、点P是抛物线上一个动点，过P作 $P M ⊥ x$ 轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 $△ O A C$ 相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A O C$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ D O B$ ，其中 $O A = 1$ ， $O C = 3$ ．

(1)、若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；

(2)、在（1）条件下，在二次函数的对称轴 $l$ 上是否存在一点P，使得 $P A + P C$ 最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．

(3)、在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．

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21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 3)$ 两点.P是抛物线上一点，且在直线 $A B$ 的上方.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若 $△ O A B$ 面积是 $△ P A B$ 面积的2倍，求点P的坐标；

(3)、如图， $O P$ 交 $A B$ 于点C， $P D ∥ B O$ 交 $A B$ 于点D.记 $△ C P B$ ， $△ B C O$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，判断 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的边 $O A = 3$ ， $A B = 4$ ，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线 $y = \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 经过A，C两点，连接 $A C$ .

(1)、请直接写出b，c的值；

(2)、若动点 $E (m ， 0)$ 在边 $O A$ （不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交 $B C$ 于点F，交 $A C$ 于点M，交抛物线于点P，连接 $P C$ .
①设线段 $P M$ 的长为h，求h与m的函数关系式；
②当点P在 $B C$ 下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与 $△ A E M$ 是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由.

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23. 如图，抛物线 $y = a (x + 2) (x - 6)$ 与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且 $O C = 3$ ，设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N.

(1)、求抛物线对应的函数表达式和顶点M的坐标；

(2)、P为抛物线的对称轴上一点，且在线段 $M N$ （含端点）上运动， $Q (m ， 0)$ 为x轴上一点，且 $P Q ⊥ P C$ ，求m的最大值；

(3)、在（2）的条件下，当m取最大值时，将线段 $C Q$ 向上平移p个单位长度，使得线段 $C Q$ 与抛物线有两个交点，直接写出p的取值范围.

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24. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + c$ 的图象与x轴交于 $A (2 ， 0)$ 、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，顶点为E.

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 $B D$ 的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

(3)、如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接 $O P$ ，连接 $P C 、 P E 、 C E$ .当 $S_{△ C P E} = 2 S_{△ C P O}$ ，求点P的坐标.

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25. 已知二次函数 $y = x^{2} - x - 2$ 的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.

(1)、直接写出点A和点B的坐标.

(2)、如图1，若点P是二次函数图象上位于 $B C$ 下方的一个动点，连接 $O P$ 交 $B C$ 于点Q.设点P的横坐标为t，设 $w = \frac{P Q}{O Q}$ ，求w的最大值.

(3)、如图2，已知点 $D (1 ， - 2)$ ， P是二次函数图象上不同于点D的一个动点，连接 $C D$ 、 $P B$ 、 $P C$ ，当 $△ D B C$ 的面积等于 $△ P B C$ 时，求点P的坐标.

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26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.

(1)、求抛物线解析式；

(2)、求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标 $(- \frac{b}{2 a} ， \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$ ；第二，确定自变量x的取值范围；第三判定 $x = - \frac{b}{2 a}$ 是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当 $m \leq x \leq n < - \frac{b}{2 a} (m < n)$ 时， $x = n$ 时，y最大；当 $- \frac{b}{2 a} < m \leq x \leq n$ $(m < n)$ 时， $x = m$ 时，y最大.若 $t < 0$ ， $t \leq x \leq t + 1$ 时，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的最大值是t，求t的值.

(3)、如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且 $∠ D A P = 45 °$ ，求点P的坐标.

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27. 如图1，拋物线 $y = a x^{2} + b x - 1$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.

(1)、求该拋物线的函数表达式；

(2)、在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当 $∠ A D M = 45 °$ 时，求点M的坐标.

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28. 如图，已知抛物线的图像经过点 $C (0 ， 3)$ ，与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，顶点坐标 $D (1 ， 4)$ ，连接 $B C$ 交对称轴于点 $E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的一个动点，位于直线 $B C$ 的上方（点 $P$ 与 $B ， C$ 不重合），过 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $B C$ 于 $F$ 点；
①设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，当四边形 $D E F P$ 是平行四边形时，求 $m$ 的值；
②在①的条件下，抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ Q B C$ 的面积与 $△ P B C$ 的面积相等，若存在，请求出点 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由.

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29. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 b x - 3 b$ 的图象经过点 $A (1 ， 0)$ .

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、二次函数图象与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发在线段 $A B$ 上以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，在线段 $B C$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $△ B P Q$ 面积的最大值；

(3)、在点 $P$ 、 $Q$ 运动的过程中，是否存在使 $△ P B Q$ 与 $△ B O C$ 相似的时刻，如果存在，求出运动时间 $t$ ，如果不存在，请说明理由.

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30. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C.

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、点D是线段 $O B$ 上一动点，过点D作y轴的平行线，与 $B C$ 交于点E，与抛物线交于点F.
①连接 $C F 、 B F$ ，当 $△ F B C$ 的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得 $△ C E F$ 为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.

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31. 如图，抛物线y＝ax²+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E.

(1)、求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

(2)、求四边形ABDC的面积；

(3)、P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S_△PBC $= \frac{3}{5}$ S_△ABC时，求点P的坐标；

(4)、在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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32. 如图，在直角坐标系中有 $R t △ A O B$ ， $O$ 为坐标原点， $A (0 ， 3)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，将此三角形绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $R t △ C O D$ ，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象刚好经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点.

(1)、求二次函数的解析式及顶点 $P$ 的坐标；

(2)、过定点 $Q$ 的直线 $l ： y = k x - k + 3$ 与二次函数图象相交于M， $N$ 两点.
①若 $S_{△ P M N} = 2$ ，求 $k$ 的值；

②证明：无论 $k$ 为何值， $△ P M N$ 恒为直角三角形；

③当直线 $l$ 绕着定点 $Q$ 旋转时， $△ P M N$ 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.

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