备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（2）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (4 ， 0)$ 和点 $C (0 ， 2)$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点 $A$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $D$ 是线段 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $△ B D E$ 是以 $B D$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，分别交 $B C$ 、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ ，当 $△ P M C$ 中有某个角的度数等于 $∠ O B C$ 度数的2倍时，请求出满足条件的点 $P$ 的横坐标．

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2. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，直线 $B C$ 方程为 $y = x - 3$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 是抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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3. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、如图 $1$ ，点 $M$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿线段 $B C$ 向点 $C$ 运动，点 $N$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿线段 $O B$ 向点 $B$ 运动，点 $M$ ， $N$ 同时出发．设运动时间为 $t$ 秒（ $0 < t < 5$ ）．当 $t$ 为何值时， $△ B M N$ 的面积最大？最大面积是多少？

(3)、已知 $P$ 是抛物线上一点，在直线 $B C$ 上是否存在点 $Q$ ，使以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a > 0$ ）的顶点为P，与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B．

(1)、若 $b = - 2 ， c = - 3$ ，
①求点P的坐标；
②直线 $x = m$ （m是常数， $1 < m < 3$ ）与抛物线相交于点M，与 $B P$ 相交于点G，当 $M G$ 取得最大值时，求点M，G的坐标；

(2)、若 $3 b = 2 c$ ，直线 $x = 2$ 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当 $P F + F E + E N$ 的最小值为5时，求点E，F的坐标．

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5. 综合与探究
如图，二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)、求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)、当 $△ C E P$ 是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)、连接AC，过点P作直线 $l ∥ A C$ ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得 $C E = F D$ ，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A，B两点，点B的坐标是 $(2 ， 0)$ ，顶点C的坐标是 $(0 ， 4)$ ， M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线 $A M$ 与y轴交于点G．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接 $O M$ ，记 $△ A O G ， △ M O G$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．当 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，且直线 $C N ∥ A M$ 时，求证：点N与点M关于y轴对称；

(3)、如图2，直线 $B M$ 与y轴交于点H，是否存在点M，使得 $2 O H - O G = 7$ ．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过 $B (3 ， 0)$ ， $D (- 2 ， - \frac{5}{2})$ 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

(1)、求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2)、若点M在直线 $B C$ 上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使 $△ M B C$ 面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）

(3)、设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

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8. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点（A在B的左侧），与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ，点P在抛物线上，连接 $B C ， B P$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P在第四象限，点D在线段 $B C$ 上，连接 $P D$ 并延长交x轴于点E，连接 $C E$ ，记 $△ D C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D B P$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段 $B C$ 交于点G，当 $∠ P B C + ∠ C F G = 90 °$ 时，求点P的横坐标．

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9. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $A C$ ．

(1)、求点B，点C的坐标；

(2)、如图1，点 $E (m ， 0)$ 在线段 $O B$ 上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上， $O E = O F$ ，连接 $A F ， B F ， E F$ ，设 $△ A C F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B E F$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S = S_{1} + S_{2}$ ，当S取最大值时，求m的值；

(3)、如图2，抛物线的顶点为D，连接 $C D ， B C$ ，点P在第一象限的抛物线上， $P D$ 与 $B C$ 相交于点Q，是否存在点P，使 $∠ P Q C = ∠ A C D$ ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过点 $B (6 ， 0)$ 和点 $D (4 ， - 3)$ 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

(1)、①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．

(2)、点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， $△ B D F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ D E F$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = 2 S_{2}$ 时，求点E的坐标；

(3)、点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为 $C_{1}$ ，点C的对应点 $C^{'}$ ，点G的对应点 $G^{'}$ ，将曲线 $C_{1}$ ，沿y轴向下平移n个单位长度（ $0 < n < 6$ ）．曲线 $C_{1}$ 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 $C^{'} G^{'} Q P$ 是平行四边形，直接写出P的坐标．

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11. 如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；

(3)、如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；

(4)、如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交x轴于点 $A (3 ， 0)$ 和 $B (- 1 ， 0)$ ，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $O D$ 交 $A C$ 于点N，当 $\frac{D N}{O N}$ 的值最大时，求点D的坐标；

(3)、P为抛物线上一点，连接 $C P$ ，过点P作 $P Q ⊥ C P$ 交抛物线对称轴于点Q，当 $t a n ∠ P C Q = \frac{3}{4}$ 时，请直接写出点P的横坐标．

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13. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点 $P$ 是第三象限抛物线上一点，直线 $P E$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ， $△ B C D$ 的面积为12，求点 $P$ 的坐标．

(3)、在（2）的条件下，若点 $E$ 是线段 $B C$ 上点，连接 $O E$ ，将 $△ O E B$ 沿直线 $O E$ 翻折得到 $△ O E B^{'}$ ，当直线 $E B^{'}$ 与直线 $B P$ 相交所成锐角为 $45 °$ 时，求点 $B^{'}$ 的坐标．

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二、模拟预测

14. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 过点 $A$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

(2)、若函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 在 $3 \leq x \leq 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a < 0$ 时，连接 $A P$ ，过点 $A$ 作 $A P$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ ．设 $△$ $B M P$ 的面积为 $S$ ．直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式．

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15. 已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0 ， a \neq c)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ ，顶点为B．

(1)、 $a = 1$ 时， $c = 3$ 时，求抛物线的顶点B的坐标；

(2)、求抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的另一个公共点的坐标 $($ 用含a，c的式子表示 $)$ ；

(3)、若直线 $y_{2} = 2 x + m$ 经过点B且与抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 交于另一点 $C (\frac{c}{a} ， b + 8)$ ，求当 $x ≥ 1$ 时， $y_{1}$ 的取值范围．

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16. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；

(3)、当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是 $(3 ， 0)$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、连接 $B C ， A C$ ，若点P为第四象限内抛物线上一点，且 $∠ P C A = ∠ B C O$ ，求点P的坐标；

(3)、过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作 $D E ⊥ x$ 轴于点E得到矩形 $O C D E$ ，将 $△ O B C$ 沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t， $△ O B C$ 与矩形 $O C D E$ 重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．

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18. 如图，直线 $A B ： y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $L ： y = x^{2} + 3 x + k$ （ $k$ 为常数）．

(1)、当 $L$ 经过点 $A$ 时，求 $L$ 的表达式及顶点坐标；

(2)、当 $L$ 经过坐标原点时，设 $L$ 与 $x$ 轴的另一个交点为点 $D$ ． $L$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ P O D$ 的面积是 $△ B O D$ 面积的2倍？若存在，求出此时点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由；

(3)、若 $L$ 与线段 $A B$ 只有一个交点，直接写出 $k$ 的取值范围．

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19. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象与x轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、点P是直线 $A C$ 上方的抛物线上一动点，设三角形 $A P C$ 的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；

(3)、点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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20. 抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B$ （ $A$ 在 $B$ 的左边）， $y$ 轴交于 $C$ ，且 $O B = O C = 4 O A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，直线 $y = x$ 交抛物线于 $D 、 E$ 两点，点 $F$ 在抛物线上，且在直线 $D E$ 下方的，若以 $F$ 为圆心的作 $⊙ F$ ，当 $⊙ F$ 与直线 $D E$ 相切时，求 $⊙ F$ 最大半径 $r$ 及此时 $F$ 坐标；

(3)、如图2， $M$ 是抛物线上一点，连接 $A M$ 交 $y$ 轴于 $G$ ，作 $A M$ 关于 $x$ 轴对称的直线交抛物线于 $N$ ，连接 $A N 、 M N$ ，点 $K$ 是 $M N$ 的中点，若 $G 、 K$ 的纵坐标分别是 $t 、 n$ ．求 $t ， n$ 的数量关系．

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21. 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(- 1 ， - 4)$ ．

(1)、求二次函数的表达式和点B的坐标．

(2)、若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形 $O B P Q$ 为平行四边形时，求点P的坐标．

(3)、如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接 $A D ， B D$ ，抛物线上是否存在点M，使 $∠ M A B = ∠ A D B$ ？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，且 $O C = 6$ ，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接 $A C 、 B C 、 D B 、 D C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、过点D作与y轴的平行线的直线l，与 $B C$ 交于点E，当 $△ C D E$ 是以 $D E$ 为底边的等腰三角形时，求点D的坐标．

(3)、若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与直线 $B C$ 交于 $B （ 3 ， 0 ）$ ， $C （ 0 ， 3 ）$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为A，点M是直线 $B C$ 上方抛物线的一动点，过点M作 $M D ⊥ x$ 轴，交 $B C$ 于点E．

(1)、求抛物线的解析式和直线 $B C$ 的解析式；

(2)、当点E是 $M D$ 的三等分点时，求此时点M的坐标；

(3)、如图2，直线 $A F$ 与抛物线交于A，F两点， $F (\frac{5}{2} ， \frac{7}{4})$ ，若点Q是 $y$ 轴上一点，且 $∠ A F Q = 45 °$ ，请直接写出点Q的坐标．

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24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$ 与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 所在的直线折叠，得到 $△ D B C$ ，点A的对应点为D．

(1)、求点A，B，C的坐标．

(2)、求直线 $B D$ 的函数表达式．

(3)、在抛物线上是否存在点P，使 $∠ P C B = ∠ A B C$ ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，且过 $(- 1 ， 4)$ 和 $(0 ， 3)$ 点．

(1)、求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；

(2)、将二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 向右平移 $m (m > 0)$ 个单位，得到的新抛物线，当 $- 1 < x < 2$ 时，y随x增大而增大，当 $4 < x < 6$ 时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；

(3)、已知M、P、Q是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是 $k$ ， $k + 1$ ，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求 $∠ P M Q$ ．

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26. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、试求抛物线的解析式；

(2)、直线 $y = k x + 1 (k > 0)$ 与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线 $B C$ 交于点M，记 $m = \frac{S_{△ C P M}}{S_{△ C D M}}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点D的坐标为 $(1 ， 4)$ ，并与x轴交于点A，点 $B (3 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线 $P D$ 将 $△ A B D$ 的面积分成 $3 ： 1$ 两部分，求点P的坐标；

(3)、点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当 $∠ O Q A = ∠ A B C - ∠ O C A$ 时，求t的值．

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28. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，直线 $y = - x + 3$ 恰好经过 $A ， C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 是抛物线上一动点，连接 $C D ， A D$ ，若 $Δ A C D$ 的面积为6，求点 $D$ 的坐标；

(3)、点 $E$ 是抛物线上一动点，连接 $B E$ ，若 $∠ A B E = 2 ∠ A C B$ ，直接写出点 $E$ 的坐标．

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29. 如图1，已知抛物线y=-x2-4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．

(1)、求直线AD的解析式．

(2)、点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（-5＜m＜-3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′-RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′-RF′|的最大值．

(3)、如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．

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30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D (0 ， - 1)$ ，点P为线段 $B C$ 上一动点，连接 $D P$ 并延长交抛物线于点H，连结 $B H$ ，当四边形 $O D H B$ 的面积为 $\frac{11}{2}$ 时，求点H的坐标；

(3)、已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以 $C Q$ 为斜边作等腰直角三角形 $C E Q$ ，请直接写出点E的坐标．

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