备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（1）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位： m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG ，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l 的距离OD为d（单位：m）．

(1)、若h=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；

②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)、若 EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

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2. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $O$ (0，0)， $A$ (4，0)两点，顶点为 $C$ ，连接 $O C$ 、 $A C$ ，若点 $B$ 是线段 $O A$ 上一动点，连接 $B C$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 折叠后，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 的位置，线段 $A^{'} C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，且点 $D$ 与 $O$ 、 $A$ 点不重合.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、①求证： $△ O C D ∽ △ A^{'} B D$ ；
②求 $\frac{D B}{B A} 的最小值$ ；

(3)、当 $S_{△ O C D} = 8 S_{△ A^{'} B D}$ 时，求直线 $A^{'} B$ 与二次函数的交点横坐标.

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3. 【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点 $O$ 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

(1)、【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心 $O$ 为原点，过点 $O$ 的横线所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于横线的直线为 $y$ 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．

(2)、【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．

(3)、【深度思考】
小明继续思考：设点 $P (0 ， m)$ ， $m$ 为正整数，以 $O P$ 为直径画 $⊙ M$ ，是否存在所描的点在 $⊙ M$ 上．若存在，求 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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4. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 $n (n \geq 0)$ 的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ 是函数 $y = x$ 图像的“ $\frac{1}{2}$ 阶方点”；点 $(2 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{2}{x}$ 图像的“2阶方点”．

(1)、在① $(- 2 ， - \frac{1}{2})$ ；② $(- 1 ， - 1)$ ；③ $(1 ， 1)$ 三点中，是反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 图像的“1阶方点”的有（填序号）；

(2)、若y关于x的一次函数 $y = a x - 3 a + 1$ 图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

(3)、若y关于x的二次函数 $y = - {(x - n)}^{2} - 2 n + 1$ 图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

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5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)、∠EDC的度数为；

(2)、连接PG，求△APG 的面积的最大值；

(3)、PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)、求 $\frac{C H}{C E}$ 的最大值．

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6. 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式；

(2)、在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 $P_{1}$ ， $P_{4}$ 在x轴上，MN与矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 $P_{1} P_{2}$ ， $P_{2} P_{3}$ ， $P_{3} P_{4}$ ， MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 $P_{2}$ ， $P_{3}$ 在抛物线AED上．设点 $P_{1}$ 的横坐标为 $m (0 < m \leq 6)$ ，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 面积的最大值，及取最大值时点 $P_{1}$ 的横坐标的取值范围（ $P_{1}$ 在 $P_{4}$ 右侧）．

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7. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过A（4，0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

(3)、如图，OP交AB于点C， $P D ∥ B O$ 交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ .判断 $\frac{S_{1}}{S_{2}} + \frac{S_{2}}{S_{3}}$ 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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8. 综合与探究
如图，某一次函数与二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；

(3)、点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；

(4)、在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

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9. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + m$ 图象的对称轴为直线 $x = 2$ ．将二次函数 $y = x^{2} + b x + m$ 图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．

(1)、求b的值；

(2)、①当 $m < 0$ 时，图象C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当 $△ M N P$ 为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中 $- 4 \leq y < 0$ 时，结合图象求x的取值范围；

(3)、已知两点 $A (- 1 ， - 1) ， B (5 ， - 1)$ ，当线段 $A B$ 与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

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10. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b$ 经过点 $A (\frac{5}{2} ， \frac{21}{8})$ ，点 $B (\frac{1}{2} ， - \frac{3}{8})$ ，与y轴交于点C．

(1)、求a，b的值；

(2)、如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为 $- 2$ ，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接 $D P$ 、设点P的纵坐标为t， $△ D E P$ 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、如图2，在（2）的条件下，连接 $O A$ ，点F在 $O A$ 上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接 $D F$ 交y轴于点G，点G为 $D F$ 的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接 $C N$ ， $P B$ ，延长 $P B$ 交 $A N$ 于点M，点R在 $P M$ 上，连接 $R N$ ，若 $3 C P = 5 G E$ ， $∠ P M N + ∠ P D E = 2 ∠ C N R$ ，求直线 $R N$ 的解析式．

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二、综合题

11. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离 $O D$ 为d m．当 $O H = 1.5$ m， $D E = 3$ m， $E F = 0.5$ m时，解答下列问题：

(1)、①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $O C$ ；
②求出点B的坐标；

(2)、要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．

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12. 抛物线 $y_{1} = a {(x - 2)}^{2} + 2$ 与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，其中 $A (0 ， \frac{4}{3})$ ．

(1)、如图1，求抛物线 $y_{1}$ 的表达式，并求点B的横坐标；

(2)、如图2，将抛物线 $y_{1}$ 向左平移，使得平移后的抛物线 $y_{2}$ 经过点A，且点B的对应点为C，求 $B C$ 的长；

(3)、如图3，矩形 $D E F G$ 的顶点D，G都在x轴上， $E (d ， \frac{4}{3})$ ，且 $D G = 2$ ，把两条抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 及线段 $B C$ 围成的封闭图形的内部记为区域M，要使矩形 $D E F G$ 在区域M的内部（包括边界），求d的取值范围．

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13. 如图1，抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ 与x轴相交于原点O和点A，直线 $y = x$ 与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点.

(1)、求点B和点C的坐标；

(2)、抛物线上是否存在点D，使得 $∠ D O B = ∠ O B C$ ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线 $O B$ 下方的抛物线上的动点， $E F$ 与直线 $O B$ 交于点G.设 $△ B F G$ 和 $△ B E G$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

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14. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC= $2 \sqrt{3}$ ， ∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.

(1)、点E的坐标为.

(2)、好奇的小明在探索一个新函数.若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R.若y′=PQ+PR，点P横坐标为x. $y^{'}$ 关于x的图像如图2，其中图像最低点F、G横坐标分别为（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ）、（ $- \sqrt{2}$ ， $- \sqrt{2}$ ）.
①求 $y^{'}$ 与x之间的函数关系式.
②写出该函数的两条性质.

(3)、已知1<x<4
①若关于x的方程x²－4x－m=0有解，求m的取值范围.小明思考过程如下：由x²－4x－m=0得m=x²－4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围.请你完成解题过程.
②若关于x的方程 $\sqrt{6} x^{2} - m x + 2 \sqrt{6} = 0$ 有解，请直接写出m的取值范围.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为 $y = - x + 6$ ，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + b x + c$ 交x轴于点A和点B，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t， $△ P B C$ 的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，点D在线段 $O B$ 上，连接PD、CD， $∠ P D C = 45 °$ ，点F在线段BC上， $E F ⊥ B C$ ， FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若 $∠ G E D + ∠ D C E = 180 °$ ， $D C > D E$ ， $S_{△ C D E} = 15$ ，求点P的横出标．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点О为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} - 8 a x + 8$ 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且 $O C = 2 O A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $A C$ ，点D是线段 $A C$ 上的一个动点，过点D作 $D E ⊥ x$ 轴于点E．在线段 $O B$ 上截取 $B F = D E$ ，过点F作 $F G ⊥ x$ 轴，交抛物线于点G，设点D的横坐标为t，点G的纵坐标为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，点H是 $A D$ 的中点，连接 $E H$ ， $F H$ ， $C G$ ，过点C作 $C K ∥ E H$ ，交线段 $F H$ 于点K，连接 $G K$ ，若 $F K = C D$ ，求 $t a n ∠ C G K$ 的值．

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17. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{24} a x^{2} + \frac{5 \sqrt{3}}{6} x - 2 \sqrt{3}$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ， $A (4 ， 0)$ ．

(1)、如图1，求拋物线的解析式；

(2)、如图2，点 $D$ 在第四象限的拋物线上，过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $E$ ，连按 $D B$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，若 $D E = 8$ ，求点 $F$ 的坐标；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $B C$ ，点 $P$ 在 $A 、 C$ 间的拋物线上，连接 $B P$ ，点 $Q$ 在y轴上，连接 $B Q$ 和 $P Q$ ， $∠ P B C = ∠ Q B C$ ， $B Q = 2 P B$ ， $B C$ 与 $P Q$ 交于点 $L$ ，连接 $F L$ ，求直线 $F L$ 的解折式．

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18. 已知：如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过原点 $O$ ，它的对称轴为直线 $x = 2$ ，动点 $P$ 从抛物线的顶点 $A$ 出发，在对称轴上以每秒 $1$ 个单位的速度向下运动，设动点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒，连接 $O P$ 并延长交抛物线于点 $B$ ，连接 $O A$ ， $A B$ .

(1)、求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)、当三点 $A$ ， $O$ ， $B$ 构成以为 $O B$ 为斜边的直角三角形时，求 $t$ 的值；

(3)、将 $△ P A B$ 沿直线 $P B$ 折叠后，那么点 $A$ 的对称点 $A_{1}$ 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的 $t$ 的值；若不能，请说明理由.

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19. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）交 $x$ 轴于 $A (1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于 $C (0 ， 3)$ ，将该抛物线位于直线 $y = m$ （ $m$ 为常数， $m \geq 0$ ）下方的部分沿直线 $y = m$ 翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像 $W$ ”.

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若 $m = 0$ 时，直线 $y = x + n$ 与图像 $W$ 有三个交点，求 $n$ 的值；

(3)、若直线 $y = x$ 与图像 $W$ 有四个交点，直接写出 $m$ 的取值范围.

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20. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的表达式：

(2)、在对称轴上找一点D，使 $△ A C D$ 的周长最小，求点D的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴右侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.

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21. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + k x + k + 1 (k \geq 1)$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的顶点纵坐标的最小值；

(2)、若 $k = 2$ ，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点Р使得 $S_{△ P A B} = \frac{15}{2}$ ，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接 $A P$ ， $B C$ 相交于点M，当 $S_{△ P M B} - S_{△ A M C}$ 的值最大时，求直线 $B P$ 的表达式．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - \sqrt{3} (a \neq 0)$ 经过 $A (- 1 ， 0) 、 B (3 ， 0)$ 两点，交y轴于点C，顶点为E.过线段 $O B$ 上动点F作 $C F$ 的垂线交 $B C$ 于点D，直线 $D E$ 交y轴于点G.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $C G = C D$ ，求线段 $O F$ 的长；

(3)、连接 $C E$ ，求 $△ C D E$ 面积的最小值.

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23. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，点 $D (- 3 ， \frac{5}{2})$ 在抛物线上.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图①，点 $P$ 在 $y$ 轴上，且点 $P$ 在点 $C$ 的下方，若 $∠ P D C = 45 °$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图②， $E$ 为线段 $C D$ 上的动点，射线 $O E$ 与线段 $A D$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于点 $N$ ，求 $\frac{M N}{O M}$ 的最大值.

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24. 一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.

【初步探究】

(1)、求证：△AQG是等腰三角形；

(2)、记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；

(3)、【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.

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25. 如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点B（3，0），点C（0，3），D为抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠AQC=90°，求点Q的坐标；

(3)、在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．

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