备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（2）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 回顾：用数学的思维思考

(1)、如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）

(2)、猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

(3)、探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

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2. 如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0， $\sqrt{3}$ ）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

(1)、填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；

(2)、当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

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3. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0) 、 B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，连接AC、BC．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、将 $△ A B C$ 沿AC所在直线折叠，得到 $△ A D C$ ，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；

(3)、点P是抛物线上的一动点，当 $∠ P C B = ∠ A B C$ 时，求点P的坐标．

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4. 抛物线 $y = a x^{2} + \frac{11}{4} x - 6$ 与x轴交于 $A (t ， 0)$ ， $B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式和t，k的值；

(2)、如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)、如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求 $C Q + \frac{1}{2} P Q$ 的最大值．

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，记 $△ C O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O B$ 的面积为 $S_{2}$ .

(1)、问题解决：如图①，若AB//CD，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{O C \cdot O D}{O A \cdot O B}$

(2)、探索推广：如图②，若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)、拓展应用：如图③，在 $O A$ 上取一点E，使 $O E = O C$ ，过点E作 $E F ∥ C D$ 交 $O D$ 于点F，点H为 $A B$ 的中点， $O H$ 交 $E F$ 于点G，且 $O G = 2 G H$ ，若 $\frac{O E}{O A} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 值.

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二、模拟预测

6.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ，若 $A D = 2$ ， $A E = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{B D}{C E}$ 是；

(2)、如图2，在（1）的条件下，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转一定角度，连接 $C E$ 和 $B D$ ， $\frac{B D}{C E}$ 的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值．

(3)、如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B C$ 于点 $C$ ， $∠ B A C = ∠ A D C = θ$ ，且 $t a n θ = \frac{3}{4}$ ，当 $C D = 6$ ， $A D = 3$ 时，请求出线段 $B D$ 的长度．

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7. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点D，E分别是边 $B C$ ， $A C$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $△ C D E$ 绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、问题发现
①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ；
②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ；

(2)、拓展探究：试判断当 $0 ° < α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接 $A E$ ，将线段 $A E$ 绕点A逆时针旋转与 $∠ B A C$ 相等的角度，得到线段 $A F$ ，连接 $E F$ ，点M和点N分别是边 $B C ， E F$ 的中点．

(1)、如图1，若 $∠ B A C = 120 °$ ，当点E是 $B C$ 边的中点时， $\frac{M N}{B E} =$ ，直线 $B E$ 与 $M N$ 相交所成的锐角的度数为度．

(2)、如图2，若 $∠ B A C = 120 °$ ，当点E是 $B C$ 边上任意一点时（不与 $B C$ 重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

(3)、若 $∠ B A C = 60 ° ， A B = 6$ ，点E在直线 $B C$ 上运动， $\frac{B E}{C E} = \frac{1}{2}$ ，若其它条件不变，过点C作 $C P ∥ M N$ ，交直线 $E F$ 于P，直接写出P到 $B C$ 的距离．

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9.

(1)、【问题呈现】如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D$ ， $C E$ ．请判断 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系：．

(2)、【类比探究】如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ．连接 $B D$ ， $C E$ ．请写出 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系：．

(3)、【拓展提升】如图3， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E} = \frac{3}{4}$ ．连接 $B D$ ， $C E$ ．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；

②延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F，交 $A B$ 于点G．求 $s i n ∠ B F C$ 的值．

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10. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线 $D E$ 上，且 $∠ B D A = ∠ B A C = ∠ A E C = 90 °$ ，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：

(1)、如图2， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C B = C A$ ，直线 $E D$ 经过点C，过A作 $A D ⊥ E D$ 于点D，过B作 $B E ⊥ E D$ 于点E．求证： $△ B E C ≌ △ C D A$ ．

(2)、如图3，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 上一点， $∠ C A D = 90 ° ， A C = A D ，$
$∠ D B A = ∠ D A B ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，求点C到 $A B$ 边的距离．

(3)、如图4，在 $▱ A B C D$ 中，E为边 $B C$ 上的一点，F为边 $A B$ 上的一点．若 $∠ D E F = ∠ B ， A B = 10 ， B E = 6$ ，求 $\frac{E F}{D E}$ 的值．

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11. 【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $C D$ 上的 $A^{'}$ 处，得到折痕 $D E$ ，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片 $A B C D$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $A D$ 上的点 $C^{'}$ 处，点 $B$ 落在 $B^{'}$ 处，得到折痕 $E F$ ， $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交 $A B$ 于点 $M$ ， $C^{'} F$ 交 $D E$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．
【问题解决】：

(1)、如图①，四边形 $A E A^{'} D$ 的形状是

(2)、如图②，线段 $M C^{^{'}}$ 与 $M E$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．

(3)、如图②，若 $A C^{'} = 3 c m$ ， $D C^{'} = 6 c m$ ，则 $M C^{'} =$ ， $\frac{D N}{E N} =$

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12. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D是边 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ， $C D = 6$ ，以点D为顶点作 $△ D E F$ ，使 $∠ E D F = 90 °$ ， $D E = D F = 10$ ．

(1)、连接 $B F$ ， $C E$ ．线段 $B F$ 和线段 $C E$ 的数量关系为，直线 $B F$ 和直线 $C E$ 的位置关系为；

(2)、如图2，当 $E C ∥ A B$ 时，设 $A C$ 与 $D E$ 交于点G，求 $D G$ 的长度；

(3)、当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出 $C E$ 的长度．

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13.

(1)、【问题发现】如图1所示， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段 $B D$ 、 $C E$ 之间的数量关系为； $∠ B E C =$ $°$ ；

(2)、【类比探究】
如图2所示， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A E = D E$ ， B、D、E三点共线，线段 $B E$ 、 $A C$ 交于点F．此时，线段 $B D$ 、 $C E$ 之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出 $∠ B E C$ 的度数；

(3)、【拓展延伸】
如图3所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = 8$ ， $D E$ 为 $△ A B C$ 的中位线，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针方向旋转，当 $D E$ 所在直线经过点B时，请直接写出 $C E$ 的长．

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14. 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．

(1)、如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为．

(2)、如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展延伸：如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．

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15. 如图

(1)、如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 10 ， A C = 8$ ， E是 $A C$ 上一点， $A E = 5 ， E D ⊥ A B$ ，垂足为D，求 $A D$ 的长．

(2)、类比探究：如图2， $△ A B C$ 中， $A C = 14 ， B C = 6$ ，点D，E分别在线段 $A B ， A C$ 上， $∠ E D B = ∠ A C B = 60 ° ， D E = 2$ ．求 $A D$ 的长．

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 中，点D，点E分别在线段 $A B ， A C$ 上， $∠ E D B = ∠ A C B = 60 °$ ．延长 $D E ， B C$ 交于点F， $A D = 4 ， D E = 5 ， E F = 6 ， D E < B D$ ， $\frac{B C}{A C} =$ ； $B D =$ ．

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16. 如图

(1)、如图， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ C O D = 9 0^{o}$ ，点 $C$ 在 $O A$ 上，点 $D$ 在线段 $B O$ 延长线上，连接 $A D$ ， $B C$ ．线段 $A D$ 与 $B C$ 的数量关系为．

(2)、如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $α (0^{∘} < α < 9 0^{∘})$ 第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3)、如图3，若 $A B = 8$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 外一动点， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连接 $B C$ ，若将 $C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转90°得到 $C D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是．

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17. 已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点E是线段 $A D$ 上一点，过点E作 $A C$ 的平行线，过点B作 $A D$ 的平行线，两平行线交于点F，连结 $A F$ ．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证： $△ A E C ≌ △ F B E$ ．（不需证明）

(1)、【探究应用】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形 $A C E F$ 是平行四边形．

(2)、【拓展延伸】如图③，记 $A B$ 与 $E F$ 的交点为G， $C E$ 的延长线与 $A B$ 的交点为N，且N为 $A B$ 的中点．
$\frac{N G}{G A} =$ ．

(3)、若 $C A ⊥ A B$ ， $B C = 5$ 时，则 $B F$ 的长为．

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点 $D ， E$ 分别是 $A C ， B C$ 的中点，点 $P$ 是射线 $D E$ 上一点，连接 $A P$ ，将线段 $P A$ 绕点 $P$ 顺时针旋转90°得到线段 $P M$ ，连接 $A M ， C M$ ．

(1)、如图①，当点 $P$ 与点 $D$ 重合时，线段 $C M$ 与 $P E$ 的数量关系是， $∠ A C M =$ °；

(2)、如图②当点 $P$ 在射线 $D E$ 上运动时（不与点 $D ， E$ 重合），求 $\frac{P E}{C M}$ 的值；

(3)、连接 $P C$ ，当 $Δ P C M$ 是等边三角形时，请直接写出 $\frac{A C}{C M}$ 的值．

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