备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（1）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 小东在做九上课本123页习题：“1： $\sqrt{2}$ 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： $\sqrt{2}$ ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

(1)、你赞同他的作法吗？请说明理由．

(2)、小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．

②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．

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2. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

(1)、如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．
①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．

(2)、如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

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3. 已知：点C，D均在直线l的上方， $A C$ 与 $B D$ 都是直线l的垂线段，且 $B D$ 在 $A C$ 的右侧， $B D = 2 A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O.

(1)、如图1，若连接 $C D$ ，则 $△ B C D$ 的形状为， $\frac{A O}{A D}$ 的值为；

(2)、若将 $B D$ 沿直线l平移，并以 $A D$ 为一边在直线l的上方作等边 $△ A D E$ .
①如图2，当 $A E$ 与 $A C$ 重合时，连接 $O E$ ，若 $A C = \frac{3}{2}$ ，求 $O E$ 的长；
②如图3，当 $∠ A C B = 60 °$ 时，连接 $E C$ 并延长交直线l于点F，连接 $O F$ .求证： $O F ⊥ A B$ .

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4. 如图

(1)、如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ，CD平分 $∠ A C B$ ，交AB于点D， $D E$ // $A C$ ，交BC于点E.
①若 $D E = 1$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，求BC的长；

②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)、如图2， $∠ C B G$ 和 $∠ B C F$ 是△ABC的2个外角， $∠ B C F = 2 ∠ C B G$ ，CD平分 $∠ B C F$ ，交AB的延长线于点D， $D E$ // $A C$ ，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为 $S_{1}$ ，△CDE的面积为 $S_{2}$ ，△BDE的面积为 $S_{3}$ .若 $S_{1} \cdot S_{3} = \frac{9}{16} S_{2}^{2}$ ，求 $\cos ∠ C B D$ 的值.

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5. 如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， ∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上由点 $C$ 向点 $B$ 运动（不与点 $B 、 C$ 重合），过点 $D$ 作 $D E ⊥ A D$ ，交射线 $A B$ 于点 $E$ .

(1)、分别探索以下两种特殊情形时线段 $A E$ 与 $B E$ 的数量关系，并说明理由；
①点 $E$ 在线段 $A B$ 的延长线上且 $B E = B D$ ；

②点 $E$ 在线段 $A B$ 上且 $E B = E D$ .

(2)、若 $A B = 6$ .
①当 $\frac{D E}{A D} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，求 $A E$ 的长；

②直接写出运动过程中线段 $A E$ 长度的最小值.

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6. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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二、模拟预测

7. 我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B}$ ＝ $\frac{A B}{A C}$ ，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

(1)、在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为cm；

(2)、如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；

(3)、如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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8. 综合与时间
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.

(1)、数学思考：请解答上述问题.

(2)、问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求 $\frac{B F}{C G}$ 的值.

(3)、问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出 $△ C E G$ 的面积.

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9. 【教材再现】
在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图1，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线m和直线n分别与直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则 $\frac{B E}{A B} = \frac{D E}{F D}$ ；
【探究发现】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 3$ ， $∠ C = 90 °$ ，点D在边 $B C$ 上（不与点B，点C重合），连接 $A D$ ，点E在边 $A B$ 上， $∠ E D B = ∠ A D C$ .

(1)、求证： $\frac{B E}{A B} = \frac{D E}{A D}$ ；

(2)、当 $\frac{D E}{A D} = \frac{1}{2}$ 时，直接写出 $A D$ 的长；

(3)、点H在射线AC上，连接EH交线段 $A D$ 于点G，当 $C H = 1$ ，且 $∠ A E H = ∠ B E D$ 时，直接写出 $\frac{B E}{A B}$ 的值.

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10.

(1)、如图①，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的动点，且 $∠ E D F = 45 °$ ，将 $△ D A E$ 绕点D逆时针旋转90°，得到 $△ D C M$ ，可以证明 $△ D E F ≅ △ D M F$ ，进一步推出 $E F$ ， $A E$ ， $F C$ 之间的数量关系为；

(2)、在图①中，连接 $A C$ 分别交 $D E$ 和 $D F$ 于P，Q两点，求证： $△ D P Q ∽ △ D F E$ ；

(3)、如图②，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点E，F分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点（不与端点重合），且 $∠ E A F = 60 °$ ，连接 $B D$ 分别与边 $A E$ ， $A F$ 交于M，N.当 $∠ D A F = 15 °$ 时，猜想 $M N$ ， $D N$ ， $B M$ 之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论.

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11. 如图，正方形ABCD的边长为12 m，点E在AB上，AE＝8 m.正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度v（单位：m/s）沿着EF方向（EF⊥AB）从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与EF相切，半径r（单位：m）与v满足关系r＝kv（k为常数）. 如图1，当v＝8时，粒子恰好从点A处射出磁场.

(1)、①求常数k的值；
②若v＝8或6，粒子在磁场中的运动时间分别为t₁ ， t₂ ，请比较t₁ ， t₂的大小.

(2)、如图2，若粒子从AD边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心O（保留作图痕迹）.

(3)、该种粒子能否从边CD上射出磁场？若能，请求出v的取值范围；若不能，请写出理由.

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12. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为 $(- 8 ， 0)$ ，直线 $B C$ 经过点 $B (- 8 ， 4)$ 、 $C (0 ， 4)$ .将四边形 $O A B C$ 绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，此时直线 $O A^{^{'}}$ 、直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 分别与直线 $B C$ 相交于点P、Q.

(1)、四边形 $O A B C$ 的形状是，当 $α = 90 °$ 时， $\frac{B P}{P Q}$ 的值是；

(2)、①如图2，当四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 的顶点 $B^{'}$ 落在y轴正半轴上时，求 $\frac{B P}{P Q}$ 的值；
②如图3，当四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 的顶点 $B^{'}$ 落在直线 $B C$ 上时，求 $△ O P B^{'}$ 的面积；

(3)、在四边形 $O A B C$ 旋转过程中，当 $0 ° < α \leq 180 °$ 时，是否存在这样的点P和点Q，使得 $B P = \frac{1}{2} B Q$ ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 16$ ，点 $E$ 是射线 $A C$ 上的一个动点，将线段 $B E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $E F$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ .

(1)、求证： $E D = E F$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ ， $C F$ ，当 $△ B E D$ 与 $△ E F C$ 相似时，求 $C E$ 的长；

(3)、当点 $D$ 关于直线 $E F$ 的对称点落在菱形的边上时，求 $A E$ 的长.

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14. 如图：

(1)、【证明体验】如图(1)，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ A B C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上， $A E = A C$ ，连接 $D E$ ，求证： $E B = C D$ .

(2)、【思考探究】如图(2)，在(1)的条件下，过点 $C$ 作 $C F ∥ D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = 4$ ，求 $F G$ 的长.

(3)、【拓展延伸】如图(3)，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $∠ A B C = ∠ B D C =$ $\frac{1}{2}$ $∠ A C D$ ，若 $A B = 4$ ， $C D =$ $\frac{10}{3}$ ，则 $B D =$ .

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 16$ ， $t a n A = \frac{3}{4}$ .已知动点 $D$ 从 $B$ 出发，以每秒 $4$ 个单位速度向 $A$ 运动，同时动点 $E$ 从 $A$ 出发，以都秒 $5$ 个单位的速度向 $C$ 运动，其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.以 $D E$ 为边在它的右侧作正方形 $D E F G$ .设两点的运动时间为 $t$ .

(1)、如图1，当 $t = 1$ 时，求 $△ A D E$ 的边 $A D$ 上的高 $E M$ 的长；

(2)、如图2，当点 $G$ 落在 $B C$ 边上时，求 $\frac{S_{△ B D G}}{S_{△ A D E}}$ 的值.

(3)、在动点 $D ， E$ 运动的过程中，当正方形 $D E F G$ 的某一边被 $R t △ A B C$ 的一边平分时，求出此时 $t$ 的值.

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16. 如图，矩形 $E B G F$ 和矩形 $A B C D$ 共顶点，且绕着点 $B$ 顺时针旋转，满足 $\frac{B C}{A B} = \frac{B G}{B E} = \frac{3}{4}$ .

(1)、如图1，当D，E，B三点共线，且 $A B = 8$ ， $B E = 4$ ，求 $\frac{D F}{A E}$ 的比值；

(2)、如图2， $\frac{D F}{A E}$ 的比值是否发生变化，若不变，说明理由；若变化，求出相应的值，并说明理由；

(3)、如图3，若点F为 $C D$ 的中点，且 $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，连结 $C G$ ，求 $△ F C G$ 的面积.

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17. 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.

(1)、求证：∠BPD=∠BAC.

(2)、连接EB，ED，当 tan∠MAN=2 AB= $2 \sqrt{5}$ 时，在点P的整个运动过程中.
①若∠BDE=45°，求PD的长.

②若ΔBED为等腰三角形，求直接写出所有满足条件的BD的长.

(3)、连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记ΔOFPP的面积为S₁ ， ΔCFE 的面积为S₂ ，请求出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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18. 如图：

图1 图2

(1)、如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝ $\frac{3}{2}$ ，求BC的长；

②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

(2)、如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S₁ ， △CDE的面积为S₂ ， △BDE的面积为S₃ ．若S₁•S₃＝ $\frac{9}{16}$ S₂² ，求cos∠CBD的值．

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