备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形(3)

试卷更新日期:2023-05-14 类型:三轮冲刺

一、真题

  • 1.    
    (1)、【探究发现】如图①所示,在正方形ABCD中,EAD边上一点,将AEB沿BE翻折到BEF处,延长EFCD边于G点.求证:BFGBCG

    (2)、【类比迁移】如图②,在矩形ABCD中,EAD边上一点,且AD=8AB=6AEB沿BE翻折到BEF处,延长EFBC边于点G延长BFCD边于点HFH=CHAE的长.

    (3)、【拓展应用】如图③,在菱形ABCD中,ECD边上的三等分点,D=60°ADE沿AE翻折得到AFE , 直线EFBC于点PCP的长.

  • 2. 如图,在菱形ABCD中,∠BAD = 120°,AB = 6,连接BD .

    (1)、求BD的长;
    (2)、点E为线段BD上一动点(不与点B,D重合), 点F在边AD上,且BE=3DF,

    ①当CE丄AB时,求四边形ABEF的面积;

    ②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+3CF的值是否也最小?如果是,求CE+3CF的最小值;如果不是,请说明理由.

  • 3. 如图1,在矩形ABCD中,AB=10AD=8EAD边上的一点,连接CE , 将矩形ABCD沿CE折叠,顶点D恰好落在AB边上的点F处,延长CEBA的延长线于点G

    (1)、求线段AE的长;
    (2)、求证四边形DGFC为菱形;
    (3)、如图2,MN分别是线段CGDG上的动点(与端点不重合),且DMN=DCM , 设DN=x , 是否存在这样的点N , 使DMN是直角三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
  • 4. 综合与实践,【问题情境】:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点, AEEP ,EP与正方形的外角 DCG 的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系,并加以证明;

    (1)、【思考尝试】同学们发现,取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.
    (2)、【实践探究】希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合), AEP 是等腰直角三角形, AEP=90° ,连接CP,可以求出 DCP 的大小,请你思考并解答这个问题.
    (3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合), AEP 是等腰直角三角形, AEP=90° ,连接DP.知道正方形的边长时,可以求出 ADP 周长的最小值.当 AB=4 时,请你求出 ADP 周长的最小值.

二、模拟预测

  • 5. 定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形.

    根据以上定义,解决下列问题:

    (1)、如图1,正方形ABCD中E是CD上的点,将△BCE绕B点旋转,使BC与BA重合,此时点E的对应点F在DA的延长线上,则四边形BEDF  (填“是”或“不是”)“直等补”四边形;
    (2)、如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC=10,CD=2,AD>AB,过点B作BE⊥AD于E.

    ①过C作CF⊥BF于点F,试证明:BE=DE,并求BE的长;

    ②若M是AD边上的动点,求△BCM周长的最小值.

  • 6.    

     

    (1)、【问题探究】如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边DCBC上,且AEDF , 求证:AE=DF.

    (2)、【知识迁移】如图2,在矩形ABCD中,AB=3BC=4 , 点E在边AD上,点M、N分别在边ABCD上,且BEMN , 求BEMN的值.

    (3)、【拓展应用】如图3,在平行四边形ABCD中,AB=mBC=n , 点EF分别在边ADBC上,点M、N分别在边ABCD上,当EFCMNC的度数之间满足什么数量关系时,有EFMN=mn?试写出其数量关系,并说明理由.

  • 7. 平行四边形ABCD中,点E在边BC上,连AE , 点F在线段AE上,连BF , 连AC

    (1)、如图1,已知ABAC , 点E为BC中点,BFAE . 若AE=5BF=26 , 求AF的长度;
    (2)、如图2,已知AB=AEBFE=BAC , 将射线AE沿AC翻折交CD于H,过点C作CGACAH于点G.若ACB=45° , 求证:AF+AE=AG
    (3)、如图3,已知ABAC , 若ACB=30°AB=2 , 直接写出AF+BF+CF的最小值.
  • 8. 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE , 记旋转角为α , 连接BE , 过点B作BF直线DE , 垂足为点F,连接CF

    (1)、如图1,当α=30°时,BEF的形状为DECF的值为
    (2)、当90°<α<180°时,

    ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请根据图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;

    ②如图3,正方形ABCD边长为4,DNBECMBE , 在AE旋转的过程中,是否存在AMNBEF相似?若存在,则CF的值为      ▲       , 若不存在,请说明理由.

  • 9. 在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的动点(与点AC不重合),连接BE

    (1)、将射线BE绕点B顺时针旋转45° , 交直线AC于点F

    ①依题意补全图1;

    ②小深通过观察、实验,发现线段AEFCEF存在以下数量关系:AEFC的平方和等于EF的平方.小深把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成证明该猜想的几种想法:

    想法1:将线段BF绕点B逆时针旋转90° , 得到线段BM , 要证AEFCEF的关系,只需证AEAMEM的关系.

    想法2:将ABE沿BE翻折,得到NBE , 要证AEFCEF的关系,只需证ENFNEF的关系.

    请你参考上面的想法,用等式表示线段AEFCEF的数量关系并证明;(一种方法即可)

    (2)、如图2,若将直线BE绕点B顺时针旋转135° , 交直线AC于点F . 若正方形边长为2AEEC=23 , 求AF的长.
  • 10. 综合与实践

    问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在ABCD中,BEAD , 垂足为E,F为CD的中点,连接EFBF , 试猜想EFBF的数量关系,并加以证明.

    (1)、独立思考:请解答老师提出的问题;
    (2)、实践探究:希望小组受此问题的启发,将ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠,如图②,点C的对应点为C' , 连接DC'并延长交AB于点G,请判断AGBG的数量关系,并加以证明.
    (3)、问题解决:智慧小组突发奇想,将ABCD沿过点B的直线折叠,如图③,点A的对应点为A' , 使A'BCD于点H,折痕交AD于点M,连接A'M , 交CD于点N.该小组提出一个问题:若此ABCD的面积为20,边长AB=5BC=25 , 求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积.请你思考此问题,直接写出结果.
  • 11. 如图1,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GEBC , 垂足为点E,GFCD , 垂足为点F.

    (1)、证明与推断:

    ②求证:四边形CEGF是正方形;

    ②推断:AGBE的值为  ▲  

    (2)、探究与证明:

    将正方形的CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°) , 如图2所示,试探究线段AGBE之间的数量关系,并说明理由;

    (3)、拓展与运用:

    正方形CEGF在旋转过程中,当B、E、F三点在一条直线上时,如图3所示,延长CGAD于点H,若AG=4GH=2 , 则BC=

  • 12. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的,数学知识往往起源于人们为了解决某些问题,通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论.但是所猜想的结论不一定都是正确的.人们从已有的知识出发,经过推理、论证后,如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾,就可以作为新的推理的前提,数学中称之为定理.

    (1)、推理证明:

    在八年级学习等腰三角形和直角三角形时,借助工具测量就能够发现:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,当时并未说明这个结论的符合题意性.九年级学习了矩形的判定和性质之后,就可以解决这个问题了.如图1,在RtABC中,若CD是斜边AB上的中线,则CD=12AB , 请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性.

    (2)、迁移运用:利用上述结论解决下列问题:

    ①如图2,在线段BD异侧以BD为斜边分别构造两个直角三角形ABDCBD , E、F分别是BDAC的中点,判断EFAC的位置关系并说明理由;

    ②如图3,ABCD对角线ACBD相交于点O,分别以ACBD为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形ACEBDE , 求证:ABCD是矩形;

  • 13.                

    (1)、【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.

    第一步,对折矩形纸片ABCDAB>BC)(图),使ABDC重合,得到折痕EF , 把纸片展平(图②).

    第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG , 折出PBPC , 得到PBC

    请证明△PBC是等边三角形.

    (2)、【数学思考】

    如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC . 他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.

    (3)、【问题解决】

    已知矩形一边长为3cm , 另一边长为acm . 对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.

  • 14. 如图1,在正方形ABCD中,E为边AD上的一点,连结CE,过D作DF⊥CE于点G,DF交边AB于点F.已知DG=4,CG=16.

    (1)、EG的长度是
    (2)、如图2,以G为圆心,GD为半径的圆与线段DF、CE分别交于M、N两点.

    ①连接CM、BM,若点P为BM的中点,连结CP,求证∠BCP=∠MCP.

    ②连接CN、BN,若点Q为BN的中点,连结CQ,求线段CQ的长.

  • 15. 如图

    (1)、动手操作:如图1,将一张长方形的纸对折两次,然后沿45°的方向剪下一个角,打开,剪出的是一个形.再利用图形的“旋转”开展数学探究活动,体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法;
    (2)、问题探究:如图2,由“动手操作”所得的四边形ABCD的对角线相交于点O , 把一个与它全等的四边形OGHM绕点O旋转,OGABEOMBCF . 探究线段OEOF之间的数量关系,并说明理由;
    (3)、拓展迁移:如图3,矩形ABCD的对角线交点为O , 直角EOF的边OEOF分别与边ABBC相交于EF . 设ABBC=kk为常数),探究线段OEOF之间的数量关系,并说明理由.
  • 16. 如图

    (1)、【教材呈现】如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABCAFG摆放在一起,点A为公共顶点,BAC=G=90° , 若ABC固定不动,将AFG绕点A旋转,边AFAG与边BC分别交于点DE(点D不与点B重合,点E不与点C重合),则结论BECD=AB2是否成立(填“成立”或“不成立”);
    (2)、【类比引申】如图2,在正方形ABCD中,EAFBAD内的一个动角,两边分别与BDBC交于点EF , 且满足EAF=ADB , 求证:ADEACF
    (3)、【拓展延伸】如图3,菱形ABCD的边长为12cmBAD=120°EAF的两边分别与BDBC相交于点EF , 且满足EAF=ADB , 若BF=9cm , 则线段DE的长为cm
  • 17. 如图,已知矩形ABCD中,AB=6BC=8 , 点MN分别在边ADBC上,沿着MN折叠矩形ABCD , 使点AB分别落在EF处,且点F在线段CD上(不与两端点重合),过点MMHBC于点H , 连接BF

    (1)、求证:MHNBCF
    (2)、若HN=32 , 求DF的长;
    (3)、若DF=12CF , 求折叠后重叠部分的面积.