备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（3）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

  • 1.    
    (1)、【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG

    (2)、【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8 ， AB=6 ， 将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G ， 延长BF交CD边于点H ， 且FH=CH ， 求AE的长．

    (3)、【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，∠D=60° ， 将△ADE沿AE翻折得到△AFE ， 直线EF交BC于点P ， 求CP的长．

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  • 2. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

    (1)、求BD的长；
    (2)、点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，

    ①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

    ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．

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  • 3. 如图1，在矩形ABCD中，AB=10 ， AD=8 ， E是AD边上的一点，连接CE ， 将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G ．

    (1)、求线段AE的长；
    (2)、求证四边形DGFC为菱形；
    (3)、如图2，M ， N分别是线段CG ， DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM ， 设DN=x ， 是否存在这样的点N ， 使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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  • 4. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， AE⊥EP ，EP与正方形的外角 △DCG 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

    (1)、【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
    (2)、【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， △AEP 是等腰直角三角形， ∠AEP=90° ，连接CP，可以求出 ∠DCP 的大小，请你思考并解答这个问题．
    (3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， △AEP 是等腰直角三角形， ∠AEP=90° ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 △ADP 周长的最小值．当 AB=4 时，请你求出 △ADP 周长的最小值．

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二、模拟预测

  • 5. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

    根据以上定义，解决下列问题：

    (1)、如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
    (2)、如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E.

    ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；

    ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值.

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  • 6.    

     

    (1)、【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF ， 求证：AE=DF.

    (2)、【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=3 ， BC=4 ， 点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN ， 求BEMN的值.

    (3)、【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB=m ， BC=n ， 点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有EFMN=mn？试写出其数量关系，并说明理由.

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  • 7. 平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连AE ， 点F在线段AE上，连BF ， 连AC ．

    (1)、如图1，已知AB⊥AC ， 点E为BC中点，BF⊥AE ． 若AE=5 ， BF=26 ， 求AF的长度；
    (2)、如图2，已知AB=AE ， ∠BFE=∠BAC ， 将射线AE沿AC翻折交CD于H，过点C作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB=45° ， 求证：AF+AE=AG；
    (3)、如图3，已知AB⊥AC ， 若∠ACB=30° ， AB=2 ， 直接写出AF+BF+CF的最小值．

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  • 8. 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE ， 记旋转角为α ， 连接BE ， 过点B作BF⊥直线DE ， 垂足为点F，连接CF ．

    (1)、如图1，当α=30°时，△BEF的形状为 ， DECF的值为；
    (2)、当90°<α<180°时，

    ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

    ②如图3，正方形ABCD边长为4，DN⊥BE ， CM⊥BE ， 在AE旋转的过程中，是否存在△AMN与△BEF相似？若存在，则CF的值为      ▲       ， 若不存在，请说明理由．

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  • 9. 在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A ， C不重合），连接BE ．

    (1)、将射线BE绕点B顺时针旋转45° ， 交直线AC于点F ．

    ①依题意补全图1；

    ②小深通过观察、实验，发现线段AE ， FC ， EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：

    想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90° ， 得到线段BM ， 要证AE ， FC ， EF的关系，只需证AE ， AM ， EM的关系．

    想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE ， 要证AE ， FC ， EF的关系，只需证EN ， FN ， EF的关系．

    …

    请你参考上面的想法，用等式表示线段AE ， FC ， EF的数量关系并证明；（一种方法即可）

    (2)、如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135° ， 交直线AC于点F ． 若正方形边长为2 ， AE：EC=2：3 ， 求AF的长．

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  • 10. 综合与实践

    问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD ， 垂足为E，F为CD的中点，连接EF ， BF ， 试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．

    (1)、独立思考：请解答老师提出的问题；
    (2)、实践探究：希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C' ， 连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
    (3)、问题解决：智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A' ， 使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M ， 交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5 ， BC=25 ， 求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

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  • 11. 如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC ， 垂足为点E，GF⊥CD ， 垂足为点F．

    (1)、证明与推断：

    ②求证：四边形CEGF是正方形；

    ②推断：AGBE的值为  ▲  ；

    (2)、探究与证明：

    将正方形的CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°) ， 如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

    (3)、拓展与运用：

    正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H，若AG=4 ， GH=2 ， 则BC= ．

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  • 12. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

    (1)、推理证明：

    在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的符合题意性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在Rt△ABC中，若CD是斜边AB上的中线，则CD=12AB ， 请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性．

    (2)、迁移运用：利用上述结论解决下列问题：

    ①如图2，在线段BD异侧以BD为斜边分别构造两个直角三角形△ABD与△CBD ， E、F分别是BD、AC的中点，判断EF与AC的位置关系并说明理由；

    ②如图3，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，分别以AC、BD为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形△ACE与△BDE ， 求证：▱ABCD是矩形；

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  • 13.                

    (1)、【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．

    第一步，对折矩形纸片ABCD（AB>BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF ， 把纸片展平（图②）．

    第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG ， 折出PB ， PC ， 得到△PBC ．

    请证明△PBC是等边三角形．

    (2)、【数学思考】

    如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC ． 他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．

    (3)、【问题解决】

    已知矩形一边长为3cm ， 另一边长为acm ． 对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．

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  • 14. 如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上的一点，连结CE，过D作DF⊥CE于点G，DF交边AB于点F．已知DG＝4，CG＝16．

    (1)、EG的长度是 ．
    (2)、如图2，以G为圆心，GD为半径的圆与线段DF、CE分别交于M、N两点．

    ①连接CM、BM，若点P为BM的中点，连结CP，求证∠BCP＝∠MCP．

    ②连接CN、BN，若点Q为BN的中点，连结CQ，求线段CQ的长．

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  • 15. 如图

    (1)、动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个形．再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法；
    (2)、问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形ABCD的对角线相交于点O ， 把一个与它全等的四边形OGHM绕点O旋转，OG交AB于E ， OM交BC于F ． 探究线段OE ， OF之间的数量关系，并说明理由；
    (3)、拓展迁移：如图3，矩形ABCD的对角线交点为O ， 直角∠EOF的边OE ， OF分别与边AB ， BC相交于E ， F ． 设ABBC=k（k为常数），探究线段OE ， OF之间的数量关系，并说明理由．

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  • 16. 如图

    (1)、【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90° ， 若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF ， AG与边BC分别交于点D ， E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE⋅CD=AB2是否成立（填“成立”或“不成立”）；
    (2)、【类比引申】如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD ， BC交于点E ， F ， 且满足∠EAF=∠ADB ， 求证：△ADE∽△ACF；
    (3)、【拓展延伸】如图3，菱形ABCD的边长为12cm ， ∠BAD=120° ， ∠EAF的两边分别与BD ， BC相交于点E ， F ， 且满足∠EAF=∠ADB ， 若BF=9cm ， 则线段DE的长为cm ．

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  • 17. 如图，已知矩形ABCD中，AB=6 ， BC=8 ， 点M ， N分别在边AD ， BC上，沿着MN折叠矩形ABCD ， 使点A ， B分别落在E ， F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H ， 连接BF ．

    (1)、求证：△MHN∽△BCF；
    (2)、若HN=32 ， 求DF的长；
    (3)、若DF=12CF ， 求折叠后重叠部分的面积．

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