备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（2）

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 $P E F (∠ P = 90 ° ， ∠ F = 60 °)$ 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板 $P E F$ 与正方形 $A B C D$ 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．

(1)、操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当 $O F$ 与 $O B$ 重合时，重叠部分的面积为；当 $O F$ 与 $B C$ 垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积 $S_{1}$ 与S的关系为；

(2)、类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， $O E ， O P$ 分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当 $B M = C N$ 时，试判断重叠部分 $△ O M N$ 的形状，并说明理由；
②如图3，当 $C M = C N$ 时，求重叠部分四边形 $O M C N$ 的面积（结果保留根号）；

(3)、拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为 $∠ G O H$ （设 $∠ G O H = α$ ），将 $∠ G O H$ 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， $∠ G O H$ 的两边与正方形 $A B C D$ 的边所围成的图形的面积为 $S_{2}$ ，请直接写出 $S_{2}$ 的最小值与最大值（分别用含 $α$ 的式子表示），
（参考数据： $s i n 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ， c o s 15 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ， t a n 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ）

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2. $△ A B C$ 和 $△ A D F$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $A B 、 B C$ 运动，运动到点B、C停止.

(1)、如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $C D 、 E F$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)、当点D运动到什么位置时，四边形 $C E F D$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $B D E F$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

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3. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)、操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：.

(2)、迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝▲ °，∠CBQ＝▲ °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.

(3)、拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长.

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4. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $A D$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $D$ 运动，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ A D$ 交直线 $A B$ 于点 $M$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ，设 $△ P Q M$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分图形的面积为 $S$ （平方单位），点 $P$ 运动时间为 $t$ （秒）.

(1)、当点 $M$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值；

(2)、当 $t$ 为何值时， $△ A P Q$ 与 $△ B M F$ 全等；

(3)、求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

(4)、以线段 $P Q$ 为边，在 $P Q$ 右侧作等边三角形 $P Q E$ ，当 $2 \leq t \leq 4$ 时，求点 $E$ 运动路径的长.

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5. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线 $A F$ 交 $B C$ 于 $F$ ，延长 $A B$ 到 $E$ 使 $B E = F C$ ， $G$ 是 $A F$ 的中点， $G E$ 交 $B C$ 于 $O$ ，连接 $G D$ .

(1)、当四边形 $A B C D$ 是矩形时，如图，求证：① $G E = G D$ ；② $B O \cdot G D = G O \cdot F C$ .

(2)、当四边形 $A B C D$ 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

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6. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)、直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)、若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)、当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

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二、模拟预测

7. 已知：如图，矩形 $A B C D$ 中和 $R t △ E B F$ 中，点C在 $B F$ 上， $∠ E B F = 90 °$ ， $A B = B F = 8 c m$ ， $A D = B E = 6 c m$ ，连接 $B D$ ，点M从点D出发，沿 $D B$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ，同时，点N从点E出发，沿 $E F$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ，过点M作 $G H ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点H，交 $C D$ 于点G.设运动时间t（s）为（ $0 < t < 10$ ）.
解答下列问题：

(1)、当t为何值时， $M F ⊥ B D$ ？

(2)、连接 $M N$ ，作 $N Q ⊥ B E$ 交 $B E$ 于Q，当四边形 $M H Q N$ 为矩形时，求t的值；

(3)、连接 $N C$ ， $N H$ ，设四边形 $N C G H$ 的面积为S（ $c m^{2}$ ），求S与t的函数关系式.

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在直线 $A D$ 右侧，且 $A E = 1$ ，以 $D E$ 为边作正方形 $D E F G$ ，射线 $D F$ 与边 $B C$ 交于点M，连接 $M E$ 、 $M G$ .

(1)、如图1，求证： $M E = M G$ ；

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设 $E F$ 与 $B C$ 交于点N，求 $\frac{M N}{E M}$ 的值；
②如图3，取 $A D$ 中点P，连接 $P F$ ，求 $P F$ 长度的最大值.

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为 $(8 ， 4)$ ， $O A ， O C$ 分别落在x轴和y轴上，将 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 $△ O D E$ ， $O D$ 与 $C B$ 相交于点F，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点F，交 $A B$ 于点G．

(1)、求k的值．

(2)、连接 $F G$ ，则图中是否存在与 $△ F B G$ 相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．

(3)、点M在直线 $O D$ 上，N是平面内一点，当四边形 $G F M N$ 是正方形时，请直接写出点N的坐标．

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10. 如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点P为对角线 $B D$ 上一点，连接 $A P ， C P$ ．

(1)、求证： $A P = C P$ ；

(2)、如图②，过P点作 $P E ⊥ P C$ ，交射线 $A D$ 于点E．求证： $P E = P C$ ；

(3)、在图③中，过P点作 $P E ⊥ P C$ ，交射线 $A D$ 于点E，猜想线段 $C D 、 D E 、 P D$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．

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11. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：CF＝DE．

(2)、如图2，在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD交AD于点E，若 $t a n ∠ D C E = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{C E}{B D}$ 的值．

(3)、如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AB＝5，AD＝3，CF＝7．求DE的长．

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12. 如图，两个全等的四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ ，其中四边形 $O A ′ B ′ C ′$ 的顶点O位于四边形 $A B C D$ 的对角线交点O．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ 都是正方形，则下列说法正确的有．（填序号）
① $O E = O F$ ；②重叠部分的面积始终等于四边形 $A B C D$ 的 $\frac{1}{4}$ ；③ $B E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} D B$ ．

(2)、应用提升：如图2，若四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ 都是矩形， $A D = a ， D C = b$ ，写出 $O E$ 与 $O F$ 之间的数量关系，并证明．

(3)、类比拓展：如图3，若四边形 $A B C D$ 和 $O A ′ B ′ C ′$ 都是菱形， $∠ D A B = α$ ，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 $α$ 表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．

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13. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，将矩形纸片 $A B C D$ 对折并展开，折痕 $P Q$ 与对角线 $A C$ 交于点E，连结 $B E$ ，则 $B E$ 与 $A C$ 的数量关系为．

(2)、操作二：如图②，摆放矩形纸片 $A B C D$ 与矩形纸片 $E C G F$ ，使B、C、G三点在一条直线上， $C E$ 在边 $C D$ 上，连结 $A F$ ， M为 $A F$ 的中点，连结 $D M$ 、 $M B$ ．求证： $D M = M E$ ．

(3)、拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片 $A B C D$ 与正方形纸片 $E C G F$ ，使点F在边 $C D$ 上，连结 $A F$ ， M为 $A F$ 的中点，连结 $D M$ 、 $M E$ 、 $D E$ ．已知正方形纸片 $A B C D$ 的边长为5，正方形纸片 $E C G F$ 的边长为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $△ D M E$ 的面积．

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14. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、 [观察与猜想]
如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是 $A B$ 、 $A D$ 上的两点，连接 $D E$ 、 $C F$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $\frac{D E}{C F}$ 的值为＝；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ，点E是 $A D$ 上的一点，连接 $C E$ ， $B D$ ，且 $C E ⊥ B D$ ，则 $\frac{C E}{B D}$ 的值为．

(3)、 [性质探究]
如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ．点E为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点C作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点G，交 $A D$ 的延长线于点F．求证： $D E \cdot A B = C F \cdot A D$ ；

(4)、[拓展延伸]已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $A D = 6$ ， $A B = 8$
如图④，点P是 $B C$ 上的点，过点P作 $P E ⊥ C F$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $B D$ 上．求 $\frac{O C}{O E}$ 的值；

(5)、如图⑤，点P是 $B C$ 上的一点，过点P作 $P E ⊥ C F$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $B D$ 上，延长 $E P$ 、 $A B$ 交于点G．当 $B G = 2$ 时， $D E =$ ．

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15. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

(1)、当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

(2)、设四边形PEGO的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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16.

(1)、【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；

(2)、【类比探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展提升】
如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，动点P从点D出发沿 $D A$ 向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线 $A C$ 向终点C运动．过点P作 $P E ∥ D C$ ，交 $A C$ 于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为 $t s (0 \leq t \leq 4)$ ，解答下列问题：

(1)、当E、Q重合时，求t的值；

(2)、设四边形 $B Q P E$ 的面积为S，当线段 $P E$ 在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；

(3)、当 $B E ∥ P Q$ 时，求t的值；

(4)、是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

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18. 问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8 $\sqrt{2}$ .
动手实践：

(1)、如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点 $A^{'}$ 处，折痕为BE，连接 $A^{'} E$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $A E A^{'} B$ ，则折痕BE的长为.

(2)、如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.

(3)、如图3，探究小组将图1中的四边形 $A E A^{'} B$ 剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边 $A^{'} E ， A^{'} B$ 上的动点（均不与顶点重合），将 $△ A^{'} P Q$ 沿PQ折叠使 $A^{'}$ 的对应点N恰好落在BM上，当 $△ A^{'} P Q$ 的一个内角与 $∠ A^{'} B M$ 相等时，请直接写出 $A^{'} Q$ 的长.

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19. 在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.

(1)、若四边形ABCD为正方形.
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

(2)、如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系.

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