备考2023年中考数学压轴题训练——三角形

试卷更新日期：2023-05-14 类型：三轮冲刺

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一、真题

1. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

(1)、如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 $\sqrt{2}$ ， ED＝12，求EM的长．

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2. 已知 $∠ M O N = α$ ，点A，B分别在射线 $O M ， O N$ 上运动， $A B = 6$ .

(1)、如图①，若 $α = 90 °$ ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， D^{'}$ ，连接 $O D ， O D^{'}$ .判断OD与 $O D^{'}$ 有什么数量关系?证明你的结论：

(2)、如图②，若 $α = 60 °$ ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：

(3)、如图③，若 $α = 45 °$ ，当点A，B运动到什么位置时， $△ A O B$ 的面积最大?请说明理由，并求出 $△ A O B$ 面积的最大值.

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3. 在△ ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC= $2 \sqrt{2}$ ，D为 BC的中点，E，F分别为AC， AD 上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，连接FG， AG．

(1)、如图1，点 E 与点 C 重合，且 GF 的延长线过点 B ，若点 P 为 FG 的中点，连接 PD，求 PD的长；

(2)、如图 2，EF 的延长线交 AB 于点M，点N在 AC上， ∠AGN=∠AEG 且GN=MF，求证：AM+AF= $\sqrt{2}$ AE

(3)、如图3，F为线段 AD上一动点，E为 AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接 EH，将△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ B'EH'，连接 B'G，直接写出线段 B'G的长度的最小值

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4.

(1)、【问题提出】
如图1， $A D$ 是等边 $△ A B C$ 的中线，点P在 $A D$ 的延长线上，且 $A P = A C$ ，则 $∠ A P C$ 的度数为.

(2)、【问题探究】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 6 ， ∠ C = 120 °$ .过点A作 $A P ∥ B C$ ，且 $A P = B C$ ，过点P作直线 $l ⊥ B C$ ，分别交 $A B 、 B C$ 于点O、E，求四边形 $O E C A$ 的面积.

(3)、【问题解决】
如图3，现有一块 $△ A B C$ 型板材， $∠ A C B$ 为钝角， $∠ B A C = 45 °$ .工人师傅想用这块板材裁出一个 $△ A B P$ 型部件，并要求 $∠ B A P = 15 ° ， A P = A C$ .工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以 $C A$ 长为半径画弧，交 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ；

②作 $C D$ 的垂直平分线l，与 $C D$ 于点E；

③以点A为圆心，以 $A C$ 长为半径画弧，交直线l于点P，连接 $A P 、 B P$ ，得 $△ A B P$ .

请问，若按上述作法，裁得的 $△ A B P$ 型部件是否符合要求？请证明你的结论.

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5. 综合与实践

(1)、知识再现
如图 $1$ ， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的正方形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．当 $S_{1} = 36$ ， $S_{3} = 100$ 时， $S_{2} =$ ．

(2)、问题探究

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
如图 $2$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间的数量关系是．

(3)、如图 $3$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ ，试猜想 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(4)、实践应用
如图4，将图 $3$ 中的 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度至 $△ B G H$ ， $△ A C E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度至 $△ A M N$ ， $G H$ 、 $M N$ 相交于点 $P$ ．求证： $S_{△ P H N} = S_{四边形 P M F G}$ ；

(5)、如图5，分别以图 $3$ 中 $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ．若 $A B = 4$ ，柱体的高 $h = 8$ ，直接写出 $V_{1} + V_{2}$ 的值．

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6. 如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到三角形AED，连接BE.

(1)、当 $A E ⊥ B C$ 时， $∠ A E B =$ $°$ ；

(2)、探究 $∠ A E B$ 与 $∠ C A D$ 之间的数量关系，并给出证明；

(3)、设 $A C = 4$ ， $△ A C D$ 的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式.

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二、模拟预测

7. 已知 E在△ABC内部(如图①)，等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC

(1)、求证AE=DC；

(2)、当AE⊥BD时，求CD的长；

(3)、将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点(如图②)，求旋转过程中EF的取值范围．

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8. 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1， $△ A B C$ 中， $A B = 7$ ， $A C = 5$ ，点D为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 $A D$ 到E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，构造 $△ B E D ≌ △ C A D$ ，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：

(1)、小明证明 $△ B E D ≌ △ C A D$ 用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）

A、 $S A S$ B、 $S S S$ C、 $A A S$ D、 $A S A$

(2)、 $A D$ 的取值范围是.

(3)、小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 边的中点，G、F分别为 $A D$ ， $B C$ 边上的点，若 $A G = 2$ ， $B F = 4$ ， $∠ G E F = 90 °$ ，求 $G F$ 的长.

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9. 综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ， D为 $B C$ 的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到 $∠ M D N$ ，将 $∠ M D N$ 绕点D旋转，射线 $D M$ ， $D N$ 分别与边 $A B ， A C$ 交于E，F两点，如图1所示.

(1)、操作发现：如图2，当E，F分别是 $A B ， A C$ 的中点时，试猜想线段 $D E$ 与 $D F$ 的数量关系是；

(2)、类比探究：如图3，当E，F不是 $A B ， A C$ 的中点，但满足 $B E = A F$ 时，求证 $△ B E D ≌ △ A F D$ ；

(3)、拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线 $A C$ 的中点O重合，射线 $O M ， O N$ 分别与 $D C ， B C$ 交于E，F两点，且满足 $D E = C F$ ，请求出四边形 $O F C E$ 的面积.

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， D是射线 $B A$ 上一动点，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作 $∠ D C E = 45 °$ ， $C E$ 在 $C D$ 右侧， $C E$ 与过点A且垂直于 $A B$ 的直线交于点E，连接 $D E$ ．

(1)、当 $C D ， C E$ 都在 $A C$ 的左侧时，如图①，线段 $B D ， A E ， D E$ 之间的数量关系是；

(2)、当 $C D ， C E$ 在 $A C$ 的两侧时，如图②，线段 $B D ， A E ， D E$ 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

(3)、当 $C D ， C E$ 都在AC的右侧时，如图③，线段 $B D ， A E ， D E$ 之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．

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11. 综合运用．

(1)、如图（ $1$ ），已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C$ ，直线 $m$ 经过点 $A$ ， $B D ⊥ 直线 m$ ， $C E ⊥ 直线 m$ ，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ．证明： $D E = B D + C E$ ．

(2)、如图（ $2$ ），将（ $1$ ）中的条件改为：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ ， $A$ ， $E$ 三点都在直线 $m$ 上，并且有 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = α$ ，其中 $α$ 为任意锐角或钝角．请问结论 $D E = B D + C E$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、拓展与应用：如图（ $3$ ）， $D$ ， $E$ 是 $D$ ， $A$ ， $E$ 三点所在直线 $m$ 上的两动点（ $D$ ， $A$ ， $E$ 三点互不重合），点 $F$ 为 $∠ B A C$ 平分线上的一点，且 $△ A B F$ 和 $△ A C F$ 均为等边三角形，连接 $B D$ ， $C E$ ，若 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状并说明理由．

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12. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $s i n B = \frac{4}{5} .$ 点 $D$ 为 $A B$ 的中点，过点 $D$ 作射线 $D E / / B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $M$ 为射线 $D E$ 上一动点，过点 $M$ 作 $M N ⊥ B C$ 于点 $N$ ，点 $P$ 为边 $A C$ 上一点，连结 $N P$ ，且满足 $\frac{A P}{B N} = \frac{4}{5}$ ，设 $B N = x$ ， $N P = y$ .

(1)、求线段 $M N$ 的长；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(3)、如图2，连结 $M P$ .
①当 $△ M N P$ 为等腰三角形时，求 $x$ 的值.
②以点 $M$ 为旋转中心，将线段 $M P$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得线段 $M P'$ ，当点 $P'$ 落在 $B C$ 边上时，求 $\frac{N P}{A B}$ 的值.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将 $△ P A Q$ 绕点P顺时针旋转90°得到 $△ P M N$ ，设点P的运动时间为t秒．

(1)、用含t的代数式表示线段 $B P$ 的长度为．

(2)、当点N落在直线BC上时，求t的值．

(3)、连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与 $△ A B C$ 的某条边的长度相等时，求t的值．

(4)、当 $△ P M N$ 与 $△ A B C$ 重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于 $\frac{3}{2}$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．

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14. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，连接 $E C$ ，求证： $△ E B C$ 是等边三角形；

(2)、点 $M$ 是线段 $C D$ 上的一点（不与点 $C$ ， $D$ 重合），以 $B M$ 为一边，在 $B M$ 的下方作 $∠ B M G = 60 °$ ， $M G$ 交 $D E$ 延长线于点 $G$ ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出 $M D$ ， $D G$ 与 $A D$ 之间的数量关系；

(3)、如图3，点 $N$ 是线段 $A D$ 上的一点，以 $B N$ 为一边，在 $B N$ 的下方作 $∠ B N G = 60 °$ ， $N G$ 交 $D E$ 延长线于点 $G$ ．试探究 $N D$ ， $D G$ 与 $A D$ 数量之间的关系，并说明理由．

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15. 翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面，人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学，可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式，在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $∠ A B C = ∠ D E F = 45 °$ ， $B C ⊥ A C$ ， $E F ⊥ D F$ ， $A C = D F = 8 c m$ ，线段 $A C$ 在直线 $M N$ 上，点F在线段 $A B$ 上，点A与点D重合．

(1)、 $∠ C A E =$ ， $B F =$ $c m$ ；

(2)、将三角板 $D E F$ 的直角顶点F沿 $F A$ 方向滑动，同时顶点D沿 $A N$ 方向在射线 $A N$ 上滑动，如图2．
①当点F恰好是线段 $A B$ 中点时，求 $∠ A F D$ 的度数；
②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；

(3)、在（2）的条件下，过点D，F分别作 $A N$ ， $A B$ 的垂线，两条垂线相交于点P，连接 $A P$ ，线段 $A P$ 的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．

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16. 已知在等腰直角三角形 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ．

(1)、如图1，请直接写出点C的坐标，若点C在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 上，则 $k_{1} =$ ；

(2)、如图2，若将 $△ A B C$ 延x轴向右平移得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，平移距离为m，当 $A^{'}$ ， $C^{'}$ 都在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 上时，求 $k_{2}$ ， m；

(3)、如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得 $△ B^{'} C^{'} P$ 的面积是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．

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