苏科版数学八年级下学期常考题微专练：二次根式

试卷更新日期：2023-05-13 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共24分）

1. 在式子 $\sqrt{π}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{a + 5}$ ， $\sqrt{- 3 y} （ y \leq 0$ ）, $\sqrt{m^{2} - 1^{}}$ 和 $\sqrt{ab} （ a < 0, b < 0 ）$ 中，是二次根式的有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 代数式 $\sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x \geq - 1$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ C、 $(\sqrt{3})^{2} = 6$ D、 $\sqrt{4 \frac{1}{4}} = 2 \frac{1}{2}$

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4. 下列式子为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 化简二次根式 $- \sqrt{8 a^{3}}$ 的结果为（）

A、 $2 a \sqrt{2 a}$ B、 $- 2 \sqrt{2 a^{3}}$ C、 $2 a \sqrt{- 2 a}$ D、 $- 2 a \sqrt{2 a}$

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6. 下列式子中，与 $\sqrt{5}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{25}$

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7. 已知 $2 < a < 4$ ，则化简 $\sqrt{1 - 2 a + a^{2}} + \sqrt{a^{2} - 8 a + 16}$ 的结果是（）

A、 $2 a ﹣ 5$ B、 $5 ﹣ 2 a$ C、﹣3 D、3

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8. 一块正方形的瓷砖，面积为50cm² ，它的边长大约在（　　）

A、4cm～5cm之间 B、5cm～6cm之间 C、6cm～7cm之间 D、7cm～8cm之间

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二、填空题（每空3分，共24分）

9. 若x、y都为实数，且 $y = 2022 \sqrt{x - 4} + 2022 \sqrt{4 - x} + 9$ ，则 $x y$ 的值.

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10. 已知 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 a - 1}$ 是同类二次根式，则a的值是.

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11. 直角三角形的两条直角边长分别为 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{6}$ ，则这个直角三角形的面积为.

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12. 像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ ……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，请写出 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式.

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13. 已知 $x + \sqrt{{(x - 2023)}^{2}} = 2023$ ，则x的取值范围是．

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14. 李明的作业本上有六道题：① $\sqrt[3]{- 2} = - \sqrt[3]{2}$ ，② $\sqrt{- 4} = - 2$ ，③ $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ ，④ $\sqrt{4} =$ ±2 ，⑤ $4 m^{- 2} = \frac{1}{4 m^{2}}$ ，⑥ $\sqrt{3 a} - \sqrt{2 a} = \sqrt{a}$ ，请你找出他做对的题是（填序号）.

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15. 如图，四边形ABCD和CEFG是两个相邻的正方形，其中B，C，E在同一条直线上，点D在CG上，它们的面积分别为27平方米和48平方米，则BE的长为米．

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16. 若x为实数，在“ $(\sqrt{3} + 1)$ □ $x$ ”的“□”中填上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数.给出下列四个数：① $\sqrt{3} + 1$ ；② $\sqrt{3} - 1$ ；③ $2 \sqrt{3}$ ；④ $1 - \sqrt{3}$ .则x不可能是（填序号即可）

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三、计算题（共3题，共21分）

17. 计算

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{3} \div \sqrt{2}$

(2)、 $2 \sqrt{20} － \sqrt{5} + 5 \sqrt{\frac{1}{5}}$

(3)、 $(3 + \sqrt{2}) (3 － \sqrt{2}) － {(1 + \sqrt{2})}^{2}$

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18. 计算

(1)、计算： $\sqrt{8} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + (\sqrt{27} + 2 \sqrt{6}) \div \sqrt{3}$ .

(2)、先化简 $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ ，再从 $- 1$ ， 0，1中选择合适的 $x$ 值代入求值.

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19. 已知 $x = 2 + \sqrt{3}$ ， $y = 2 - \sqrt{3}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$

(2)、 $x^{2} - y^{2}$ .

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四、解答题（共7题，共51分）

20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 $b = 3 + \sqrt{3 a - 6} + 5 \sqrt{2 - a}$ ，求此三角形的周长.

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21. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} - \sqrt{{(b - 1)}^{2}} - \sqrt{{(a - b)}^{2}}$

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22. $\sqrt{a^{2}} = | a |$ 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：

(1)、化简： $\sqrt{(- 3)^{2}} =$ ， $\sqrt{(3 - π)^{2}} =$ ；

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点如图所示，化简 $- | c - a | + \sqrt{(b - c)^{2}}$ ．

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23. 像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ ， $(\sqrt{a}) (\sqrt{a}) = a (a ≥ 0)$ 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： $(\sqrt{5})$ 与 $(\sqrt{5})$ ， $(\sqrt{2} + 1)$ 与 $(\sqrt{2} - 1)$ ， $(2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5})$ 与 $(2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$ 等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：

(1)、化简：① $\frac{2}{5 \sqrt{2}}$ = ；② $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ = ．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + … + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}) (\sqrt{2022} + 1)$ ．

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24. 如图，在矩形ABCD中无重叠放人面积分别为27cm²和12cm²的两张正方形纸片，求图中空白部分的周长和面积

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25. 阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式运算时，形如 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ 一样的式子，我们可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ＝ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$ ＝ $\sqrt{3} + 1$ ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

(1)、请用上述的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ；

(2)、利用上面的解法，化简： $\frac{3}{1 + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{3}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ .

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26. 阅读下面的材料，解决问题
像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ ……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化.

例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ；

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)}$ $= 2 - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 1$ $= 3 - \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(1)、计算： $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \cdot \dots + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2021}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{8} - \sqrt{7}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小，并说明理由；

(4)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}$ .

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