人教版2022-2023学年度第二学期八年级数学二次根式的乘除期末复习

试卷更新日期：2023-05-12 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.5}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6$ B、 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{1 + \frac{1}{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{5} \times \sqrt{15} = 5 \sqrt{3}$

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3. 设a= $\sqrt{2}$ ， b= $\sqrt{3}$ ，用含a，b的式子表示 $\sqrt{2.16}$ ，则下列表示正确的是（　　）

A、 $0.3 a b$ B、 $0.6 a b$ C、2ab D、 $2 a^{2} b$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中无重叠放入面积分别为16cm²和12 cm²的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A、 $(8 - 4 \sqrt{3}) c m^{2}$ B、 $(4 - 2 \sqrt{3}) c m^{2}$ C、 $(16 - 8 \sqrt{3}) c m^{2}$ D、 $(8 \sqrt{3} - 12) c m^{2}$

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5. 下列运算错误的是（）

A、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}} \div \sqrt{2} = \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3} \div \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{3}} \div \sqrt{\frac{3}{2}} = 1$

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6. 已知 $\sqrt{2 n}$ 是整数，则n的值不可能是（）

A、2 B、8 C、32 D、40

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7. $\sqrt{50}$ · $\sqrt{a}$ 的值是一个整数，则正整数a的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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8. 若 $x + \frac{1}{x} = 7$ ，则 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值是（）

A、3 B、±3 C、 $\sqrt{5}$ D、± $\sqrt{5}$

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9. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{b^{3}}{a}} (a < 0)$ 得（）

A、 $\frac{b \sqrt{a b}}{a}$ B、 $- \frac{b \sqrt{a b}}{a}$ C、 $\frac{b \sqrt{- a b}}{a}$ D、 $- \frac{b \sqrt{- a b}}{a}$

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10. 下列无理数中，与 $\sqrt{24}$ 相乘积为有理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

11. 化简 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的结果为

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12. 一个长方形的长 $a = \sqrt{2} c m$ ，宽 $b = \sqrt{6} c m$ ，则这个长方形的面积是 $c m^{2}$ .

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13. 已知x＝2+ $\sqrt{5}$ ， y＝2- $\sqrt{5}$ ，则代数式x²+y²的值为．

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14. 最简二次根式 $\sqrt{4 - 3 x}$ 与二次根式 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式，则x＝．

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15. 若x为实数，在“ $(\sqrt{3} + 1)$ □ $x$ ”的“□”中填上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数.给出下列四个数：① $\sqrt{3} + 1$ ；② $\sqrt{3} - 1$ ；③ $2 \sqrt{3}$ ；④ $1 - \sqrt{3}$ .则x不可能是（填序号即可）

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三、解答题

16. 如图，在矩形ABCD中无重叠放人面积分别为27cm²和12cm²的两张正方形纸片，求图中空白部分的周长和面积

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17. 已知 $| x - 3 | + \sqrt{x - y + 1} = 0$ ，求 $\sqrt{x^{2} y + x y^{2} + \frac{1}{4} y^{3}}$ 的值．

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18. 在解决问题“已知a＝ $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求3a²﹣6a﹣1的值”时，小明是这样解答的：
∵a＝ $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} + 1$ ，

∴a﹣1＝ $\sqrt{2}$ ，

∴（a﹣1）²＝2，即a²﹣2a+1＝2，

∴a²﹣2a＝1，

∴3a²﹣6a＝3，

∴3a²﹣6a﹣1＝2．

请你根据小明的解答过程，解决下面的问题：

若a＝ $\frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求2a²﹣12a+1的值．

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四、综合题

19. 观察下列各式．
第1个等式： $\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$
第2个等式： $\sqrt{4 - \frac{4}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$
第3个等式： $\sqrt{9 - \frac{9}{4}} = 3 \sqrt{\frac{3}{4}}$
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

(1)、第4个等式：

(2)、请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明．

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20. 已知 $a = 3 + 2 \sqrt{2}$ ， $b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，分别求下列代数式的值：

(1)、a²-b²；

(2)、a²-2ab+b² ．

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21. 阅读材料：像 $(\sqrt{5} + 2) \times (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ ， ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \times (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$

所以 $a - 1 = \sqrt{2}$

所以 ${(a - 1)}^{2} = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a + 1 = 2$

所以 $a^{2} - 2 a = 1$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a = 3$ ，所以 $3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

(1)、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =$ ；
$\sqrt{3} - 2$ 的有理化因式是， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2} =$ ；

(2)、若 $a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $- 2 a^{2} + 12 a + 3$ 的值．

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22. 【观察】
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
【感悟】
在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 相乘的积都不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式．

(1)、【运用】 $\sqrt{2}$ 的有理化因式是； $\sqrt{3} - 2$ 的有理化因式是；

(2)、将下列各式分母有理化：
① $\frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ；
② $\frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$

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23. 某居民小区有块形状为矩形 $A B C D$ 的绿地，长 $B C$ 为 $\sqrt{128}$ 米，宽 $A B$ 为 $\sqrt{50}$ 米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为 $(\sqrt{13} + 1)$ 米，宽为 $(\sqrt{13} - 1)$ 米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 的周长．（结果化为最简二次根式）

(2)、除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

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人教版2022-2023学年度第二学期八年级数学 二次根式的乘除 期末复习

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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