浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z - 2 i = \frac{1 - i}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z的虚部是（）

A、1 B、i C、 $- i$ D、 $- 1$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知命题p： $△ A B C$ 为钝角三角形，命题 $q ： \vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 用半径为 $3 c m$ ，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）

A、 $1 c m$ B、 $2 \sqrt{2} c m$ C、 $\sqrt{2} c m$ D、 $2 c m$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 7 ， B C = 8 ， ∠ C = \frac{π}{3}$ ，则边 $A C$ 的长为（）

A、3 B、5 C、3或5 D、以上都不对

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5. 设m，n是不同的直线， $a ， β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n ， n / / α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m / / β ， β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ C、 $m ⊥ α ， α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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6. 若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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7. 记 $a = 0 . 2^{0.1} ， b = 0 . 1^{0.2} ， c = (\sqrt{2})^{- 0.5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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8. 有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为 $m = 0.9 l$ 米，则m的值是（）

A、 $\frac{81}{10}$ B、 $\frac{27 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{27 \sqrt{2}}{5}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点Q为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点N为 $D D_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $C Q$ 与 $B N$ 为异面直线 B、 $C Q ⊥ C_{1} D_{1}$ C、直线 $B N$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $30 °$ D、三棱锥 $Q - N B C$ 的体积为 $\frac{2}{3}$

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10. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是平面单位向量，且 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，若该平面内的向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} = \vec{a} \cdot \vec{e_{2}} = 1$ ，则（）

A、 $〈 \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} 〉 = \frac{π}{6}$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}})$ C、 $\vec{a} = \frac{2}{3} (\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}})$ D、 $| \vec{a} | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，则下面说法正确的是（）

A、若 $ω = 2$ 且 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则 $φ = \frac{π}{6}$ B、若 $ω = 2$ 且 $f (x)$ 图像关于点 $(\frac{4 π}{3} ， 0)$ 对称，则 $φ = \frac{π}{6}$ C、若 $φ = \frac{π}{4}$ 且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增，则 $ω$ 的最大值为2 D、若 $φ = \frac{π}{4}$ 且 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图象有且仅有2个最高点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{9}{4} ， \frac{17}{4})$

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12. 在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4 ， A C = 3$ ， D为边 $B C$ 上的点， $∠ B A D = ∠ C A D$ ，则线段 $A D$ 长的可能取值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3.3 D、 $2 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = - 1 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面上对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，则 $△ O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为．

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14. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高为 $4$ ， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，则该三棱柱的外接球的体积为．

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15. 已知 $△ A B C$ 满足 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C}$ ，则 $c o s C$ 的最小值为．

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16. 已知正 $△ A B C$ 边长为1，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $P$ 为直线 $A D$ 上的动点，设 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B P}$ 的投影向量为 $m \frac{\vec{B P}}{| \vec{B P} |}$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 1 + b i$ （ $b \in R$ ， i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足 $| z | = 2$ ．

(1)、求实数b的值；

(2)、若复数z是关于x的方程 $p x^{2} + 2 x + q = 0$ （ $p \neq 0$ ，且 $p ， q \in R$ ）的一个复数根，求 $p + q$ 的值．

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B$ ， E和F分别为 $P D$ 和 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求二面角 $F - E D - A$ 的余弦值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B = \frac{π}{2} ， A C = 2 ， B D$ 为边 $A C$ 上的高．设 $y = B D + D C$ ，记y关于A的函数为 $y = f (A)$ ．

(1)、求 $y = f (A)$ 的表达式及 $f (A)$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $m f (A) + m \geq f^{2} (A)$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是线段 $B C$ 上的点，且 $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ， O是线段 $A D$ 的中点延长 $B O$ 交 $A C$ 于E点，设 $\vec{B O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ．

(1)、求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为边长等于2的正三角形，求 $\vec{O E} \cdot \vec{B C}$ 的值．

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21. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (s i n C ， c o s C)$ ， $\vec{n} = (2 s i n A - c o s B ， - s i n B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x + 2 + | a x^{2} - 3 x + 2 |$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、已知存在三个不相等的实数 $α ， β ， γ$ ，使得 $f (α) = f (β) = f (γ)$ 成立，求 $α + β + γ$ 的取值范围．

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