浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. $A_{4}^{2} + C_{5}^{3} =$ （）

A、22 B、24 C、66 D、68

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3. 已知随机变量X的分布列如下表，若 $E (X) = 5$ ，则 $a =$ （）

X

3

a

P

$\frac{1}{3}$

b

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 一质点在单位圆上做匀速圆周运动，其位移满足的方程为 $h = s i n 2 t$ ，其中h表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s），则质点在 $t = 1$ 时的瞬时速度为（）

A、sin2 m/s B、cos2 m/s C、2sin2 m/s D、2cos2 m/s

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5. 某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）

A、540种 B、180种 C、360种 D、630种

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6. 已知随机变量服从正态分布 $X ~ N (3 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 1 + 2 a) + P (X \leq 1 - a) = 1$ ，则 $a =$ （）

A、-4 B、-2 C、1 D、4

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7. 设常数 $a > 0$ ， ${(a x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{4}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $\frac{2}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的可导函数， $f (1) = 2$ ，且 $f (x) + \frac{1}{3} f^{'} (x) < 1$ ，则不等式 $f (x) - e^{3 - 3 x} > 1$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，下列结论正确的有（）

A、二项式系数之和为64 B、所有项的系数之和为1 C、常数项为160 D、所有项系数的绝对值之和为729

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10. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $l n 2 > \frac{2}{e}$ B、 $l n 3 < \frac{3}{e}$ C、 $l n π > \frac{π}{e}$ D、 $l n 4 < \frac{4}{e}$

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11. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙最后一个出场”，则下列结论中正确的是（）

A、事件A包含78个样本点 B、 $P (A) = \frac{13}{20}$ C、 $P (A B) = \frac{13}{20}$ D、 $P (B | A) = \frac{3}{26}$

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12. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x + b (b \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 一定有两个极值点 B、函数 $y = f (x)$ 在R上单调递增 C、过点 $(0 ， b)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的2条切线 D、当 $b = \frac{7}{12}$ 时， $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + f (\frac{3}{2023}) + ⋯ + f (\frac{2022}{2023}) = 2022$

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三、填空题

13. 随机变量X服从二项分布 $X ~ B (n ， p)$ ，且 $E (X) = 4$ ， $D (X) = 3$ ，则p的值为.

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14. 函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 l n x$ 的单调递减区间为.

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15. 如果一个三位正整数如“ $a_{1} a_{2} a_{3}$ ”满足 $a_{1} > a_{2}$ ，且 $a_{2} < a_{3}$ ，则称这样的三位数为凹数（如201，325等），那么由数字0，1，2，3，4，5能组成个无重复数字的凹数.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + m x$ ，若 $f (e^{x}) \geq f (x - 1)$ 对 $x \in R$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17.

(1)、求方程中x的值（其中 $x \in N^{*}$ ）： $3 C_{2 x}^{3} = 5 A_{x}^{3}$ ；

(2)、已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{7} x^{7}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{7}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ 在 $x = - 2$ 时取得极值，在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线的斜率为 $- 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的单调区间和最值.

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19. 有4名男生、3名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

(1)、甲、乙两人必须排在两端；

(2)、男女相间；

(3)、甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x (a > 0)$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 恰有两个零点，求a的取值范围.

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21. 某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．

(1)、求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；

(2)、设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

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22. 已知函数 $f (x) = x + x \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $m \in Z$ ，且 $m (x - 1) < f (x)$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，求 $m$ 的最大值．

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X	3	a
P	$\frac{1}{3}$	b