浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高二下学期4月数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = n^{2}$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ 等于（）

A、32 B、45 C、51 D、56

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2. 如果直线 $l_{1}$ ： $x + t y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $t x + 16 y - 4 = 0$ 平行，那么实数 $t$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、4或-4 D、1或-4

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3. 若曲线 $f (x) = e^{x} + s i n x + m$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $2 x - n y + 1 = 0$ ，则（）

A、 $m = 1$ ， $n = - 1$ B、 $m = - 1$ ， $n = 1$ C、 $m = 0$ ， $n = - 1$ D、 $m = 0$ ， $n = 1$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，其前n和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} \leq S_{10}$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{3 a_{1}}$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{8}{9} ， \frac{9}{10})$ B、 $(\frac{9}{10} ， \frac{10}{11})$ C、 $[\frac{8}{9} ， \frac{9}{10}]$ D、 $[\frac{9}{10} ， \frac{10}{11}]$

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5. 若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 x - t l n x$ 存在两个零点，则实数t的取值范围为（）

A、 $(\frac{e}{2} ， + \infty)$ B、 $(e ， + ∞)$ C、 $(2 e ， + ∞)$ D、 $(3 e ， + \infty)$

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B.若 $| B F_{1} | ： | A F_{1} | ： | B F_{2} | = 3 ： 2 ： 1$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{6}}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{4} x$

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8. 已知 $a = e^{- 1}$ ， $b = \frac{4 - 2 l n 2}{e^{2}}$ ， $10 c = l n 10$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ ， $x \in R$ .下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 不存在最大值，也不存在最小值 B、函数 $f (x)$ 存在极大值和极小值 C、函数 $f (x)$ 有且只有1个零点 D、函数 $f (x)$ 的极小值就是 $f (x)$ 的最小值

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10. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{8} = 17 S_{4}$ ．下列结论正确的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{12} = 48 S_{4}$ B、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $S_{12} = 273 S_{4}$ C、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则公比一定为2 D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则公比是2或－2

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11. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $D D_{1}$ 的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ.下列结论正确的有（）

A、当 $M N ⊥ B_{1} N$ 时，Γ是一个点 B、当动点N到直线 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ 时，Γ是椭圆 C、当直线MN与平面ABCD所成的角为 $60 °$ 时，Γ是圆 D、当直线MN与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为 $60 °$ 时，Γ是双曲线

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12. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线C上的两个不同的动点，点A关于x轴的对称点为 $A^{'}$ ，抛物线C的准线交x轴于点P.下列结论正确的是（）

A、若直线 $A B$ 过点F，则 $x_{1} x_{2} = 1$ ，且 $y_{1} y_{2} = - 4$ B、若直线 $A B$ 过点F，则P， $A^{'}$ ， B三点共线 C、若直线 $A B$ 过点P，则 $x_{1} x_{2} = 1$ ，且 $y_{1} y_{2} = 4$ D、若直线 $A B$ 过点P，则 $| A F | + | B F |$ 的最小值为4

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三、填空题

13. 徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为里.（取 $1 . 1^{8} = 2.14$ ）

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14. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形， $A P = 4$ ， AP与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的余弦值为.

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15. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 和双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{s^{2}} - \frac{y^{2}}{t^{2}} = 1 (s > 0 ， t > 0)$ 的焦点相同， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，M是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 在第一象限的交点.已知 $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为2，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率为.

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16. 若函数 $f (x) = \frac{x + 1 + l n x}{x e^{x}}$ 极值点为 $x_{0}$ ，则 $f (x_{0})$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知 ${(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为 $- 1$ .

(1)、求n和a的值；

(2)、求 $(2 x - \frac{1}{x^{2}}) {(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中的常数项.

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18. 盒子中有 $2$ 个不同的白球和 $3$ 个不同的黑球.
（注：要写出算式，结果用数字表示）

(1)、若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？

(2)、随机一次性摸出 $3$ 个球，使得摸出的三个球中至少有 $1$ 个黑球，共有多少种不同的摸球结果？

(3)、将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2 a_{1}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3} - 2$ ， $a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ .若 ${a_{n}}$ 的公差为整数，且 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{S_{n + 1} - 1}{S_{n}}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是矩形， $C A ⊥ C B$ ， $A B = A A_{1} = 2 A C = 2$ ，且已知二面角 $A_{1} - A C - B$ 是钝角.

(1)、求 $A_{1} B$ 的长度；

(2)、求二面角 $A - B_{1} C_{1} - A_{1}$ 的大小.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，点 $P (2 ， 2)$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 、 $B$ 在双曲线 $C$ 的左、右两支上，直线 $P A$ 、 $P B$ 均与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (0 < r < \sqrt{3})$ 相切，记直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ， $△ A B P$ 的面积为 $S$ .
① $k_{1} k_{2}$ 是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
②已知圆 $O$ 的面积为 $\frac{8}{5} π$ ，求 $S$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x l n x - 3 e^{x - 2} + 1 + (2 a - 5) x^{2}$ ， $g (x) = a x l n x + (a - 3) x^{2} + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) \leq g (x)$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围.

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