浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (x ， 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x$ 等于（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 设复数 $z = - 1 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $2 - z$ 的模等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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3. 已知 $△ A B C$ 中， $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ ，则 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C$ 等于（）

A、 $1 ： 2 ： 3$ B、 $2 ： 3 ： 1$ C、 $1 ： 3 ： 2$ D、 $3 ： 1 ： 2$

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4. 直径为 $6 c m$ 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为 $2 c m$ 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（）

A、3 B、6 C、9 D、27

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5. 如图，梯形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 是一水平放置的平面图形 $A B C D$ 在斜二测画法下的直观图.若 $A_{1} D_{1}$ 平行于 $y_{1}$ 轴， $A_{1} B_{1} ∥ C_{1} D_{1} ， A_{1} B_{1} = \frac{3}{4} C_{1} D_{1} = 3 ， A_{1} D_{1} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 的面积是（）

A、14 B、7 C、 $7 \sqrt{2}$ D、 $14 \sqrt{2}$

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6. 设a=log₃7，b=2^1.1 ， c=0.8^3.1 ，则（　　）

A、b＜a＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $6 ， P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为 $C C_{1}$ 的中点，过点 $A_{1} ， P ， Q$ 的平面截正方体所得的截面的面积 $S =$ （）

A、 $\frac{21 \sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{21 \sqrt{17}}{2}$ C、 $\frac{81 \sqrt{2}}{4} + 9 \sqrt{6}$ D、 $\frac{27 \sqrt{2}}{4} + 9 \sqrt{6}$

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8. 已知非零向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ ，满足 $| \vec{O A} | = 4$ ， $| \vec{O B} | = 2 | \vec{O C} |$ ，且 $3 + \vec{O A} \cdot \vec{O C} + \vec{O C} \cdot \vec{O B} = {| \vec{O C} |}^{2} + \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ，则 $| \vec{A B} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、3 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、1

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二、多选题

9. 下列说法中，正确的有（）

A、复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ ； B、“ $θ$ 为钝角”是“复数 $z = c o s θ + i s i n θ$ 在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件； C、已知复数 $z_{1} ， z_{2} ，$ “ $z_{1} ， z_{2}$ 的虚部相等”是“ $z_{1} = z_{2}$ ”的必要条件 D、在复数范围内，若 $2 i - 3$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一根，则该方程的另一根是 $2 i + 3$

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $c o s A < s i n B$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 B、若 $a^{2} - b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 一定是锐角三角形 C、若 $b c o s C + c c o s B = b$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 D、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形

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11. 已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = D B = D C = 3$ ， $A D = B C = 2 ， E ， F$ 分别是 $B D ， C D$ 的中点， $P$ 是棱 $A C$ 上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（）

A、直线 $P F$ 与 $A B$ 是异面直线； B、当 $A P = 2 P C$ 时，三棱锥 $P - A B D$ 体积为 $\frac{2 \sqrt{7}}{9}$ ； C、 $P D + P B$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ ； D、三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积 $11 π$ .

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足： $f (x) \neq 0 ， f (1) = \frac{1}{4} ， f (\frac{s + t}{2}) f (\frac{s - t}{2}) = \frac{1}{4} (f (s) + f (t)) ， s ， t \in R$ 则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 是周期函数且最小正周期为6 C、 $f (100) = \frac{1}{4}$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}) ， \vec{b} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为.

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14. 已知集合 $A = {x ∣ y = l n (2 x^{2} - x - 6)} ， B = {x ∣ 9^{x + m} - 27 > 0}$ ，若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B = 3 0^{∘} ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ，若 $B C$ 边上的高与 $A B$ 边上的高之比为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $b =$ .

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16. 已知 $2 a - b = 2 ， (a ， b \in R)$ 则 $(4 a^{2} - 1) (1 - b^{2})$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 3 i) \bar{z} = 5 + 5 i$ .

(1)、求 $z - \bar{z}$ ；

(2)、求 ${(\frac{z}{2 \bar{z} - 3})}^{2023}$ .

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18. 正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 3 A_{1} B_{1} = 3$ .

(1)、求三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积；

(2)、 $D ， E$ 分别是 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B B_{1}$ 上一点，且 $B_{1} F = 2 F B$ ，几何体 $A_{1} B_{1} C_{1} D F E$ 的体积记为 $V_{1}$ ，几何体 $A B C D F E$ 的体积记为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值.

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19. 如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4 $m$ .
附： $\sqrt{3} \approx 1.732$ .

(1)、兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）；

(2)、兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22 $m$ ， BC=16 $m$ ，求假山的高度（精确到0.1）.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，其中 $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = f (\frac{5 π}{12})$ ， $f (\frac{π}{8}) = 0$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $t a n α = 2$ ，求 $f (α)$ 的值.

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21. 在① $b s i n B s i n C + c c o s A = c c o s^{2} B$ ， ② $\frac{s i n (\frac{C + B}{2})}{c o s B} = \frac{s i n A}{c o s (\frac{C - B}{2})}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $\frac{a c}{b + c} = 1$ ，求 $c$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = λ (x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 5) + x^{2} - x + 3$ ， $\begin{matrix} g (x) = λ (- x^{3} - x - 3) + x^{3} - x^{2} + 2 x - 1 \end{matrix}$

(1)、当 $λ = 0$ 时.解不等式 $f (x) + g (x) \geq 2 (x + 1)$ ；

(2)、记 $m a x {x ， y}$ 表示实数 $x ， y$ 中的较大者.任意的 $λ \in (0 ， 1)$ ，是否有 $m a x {| f (x) | ， | g (x) |} > \frac{10}{7}$ 恒成立？若是，请证明：否则，请说明理由.

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