浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 3 - 4 i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、2 D、-2

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2. 向量 $\vec{a} = (3 ， 1 ， - 2) ， \vec{b} = (x ， 2 ， 1)$ ，若 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = - \frac{\sqrt{14}}{7}$ ，则实数 $x =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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3. 若二项式 ${(\frac{2}{x} + \sqrt{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式中含有常数项，则 $n$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 向量 $\vec{a_{i}} = (x_{i} ， y_{i})$ ， $x_{1} = 1$ ， $x_{i + 1} = x_{i} + 2 ， (i \in N^{*})$ ， $(x_{i} ， y_{i}) (i \in N^{*})$ 对应的点在曲线 $y = 2^{x} - 1$ 上，则 $\vec{a_{5}} =$ （）

A、 $(7 ， 31)$ B、 $(9 ， 511)$ C、 $(9 ， 127)$ D、 $(11 ， 63)$

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5. 某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到A、B、C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为（）

A、14 B、20 C、24 D、36

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6. 设圆柱的体积为 $V$ ，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（）

A、 $3 \sqrt[3]{2 π V^{2}}$ B、 $\frac{\sqrt[3]{2 π V}}{3}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{V}{2 π}}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{4 V}{π}}$

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7. 已知 $a = 0.1 e^{0.1} ， b = 0.11 ， c = s i n 0.1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小顺序为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 + a l n x ， g (x) = a x^{2} + 1$ ，若存在两条不同的直线与函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 图像均相切，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2}{1 + l n 2} ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， \frac{1}{l n 2})$ C、 $(- ∞ ， 0) \cup (\frac{2}{1 + l n 2} ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， \frac{1}{l n 2}] \cup (\frac{2}{1 + l n 2} ， + ∞)$

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二、多选题

9. 已知正项等比数列 ${a_{n}} ， \forall k \in N^{*} ， a_{k + 1} < a_{k}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{4} ， \frac{7}{2} a_{5} ， 2 a_{6}$ 成等差数列， $S_{5} = 62$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 6}$ B、 $a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 5}$ C、 $S_{n} = 64 - \frac{1}{2^{n - 6}}$ D、 $S_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 5} - 243$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， 2)$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称 C、过原点 $O$ 只能作一条直线与 $f (x)$ 的图象相切 D、 $f (x)$ 恰有两个零点

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 内切于椭圆 $C$ .过椭圆上不与顶点重合的点 $P$ 引圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，点 $P ､ Q$ 关于原点 $O$ 对称，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{1}{| P F_{1} |} + \frac{2}{| Q F_{1} |}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、存在点 $P$ ，使得 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} = 2 \sqrt{2}$ C、若直线 $A B$ 交椭圆于 $D ､ E$ 两点，线段 $D E$ 的中点为 $T$ ，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O T}$ 的值为常数 D、若 $P$ 在 $x$ 轴上的射影是 $F_{2}$ ，直线 $Q F_{2}$ 交椭圆于另一点 $G$ ，则直线 $P Q$ 与 $P G$ 不垂直

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12. 如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（）

A、共有 $4^{6}$ 种不同方案 B、若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案 C、若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案 D、若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案

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三、填空题

13. 设 $(x + 1)^{5} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + \dots + a_{5} (x - 1)^{5}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{5} =$ .（用数值作答）

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14. 正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} - a_{n + 1} = 2 a_{n} a_{n + 1}$ .则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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15. 甲乙两个盒子中分别装有大小､形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1､2､3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为 $D (X)$ ，则 $D (2 X - 1) =$ .

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16. 定义在 $[0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) = f^{'} (x) + x$ ， $f (0) = 2$ 则不等式 $e^{1 - x} \cdot f (x) < 2 + e$ 的解集.

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四、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} = a_{n} + 4 n + 3$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = c \cdot 3^{n + 1} - \frac{3}{2} \cdot n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${\frac{a_{n}}{n b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，试证明 $T_{n} < 2$ .

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D ∥ B C ， B C = 2 A D = 2 ， ∠ P B A = ∠ C B A = 6 0^{∘}$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若点 $M$ 在线段 $P B$ 上，且直线 $A D$ 与平面 $M A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求平面 $M B C$ 与平面 $M A C$ 夹角的余弦值.

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且____.在下列两个条件中选择一个补充在横线上：① $b = c c o s A + \frac{1}{2} a$ ；② $s i n^{2} C = s i n^{2} 4 0^{∘} - s i n 4 0^{∘} s i n 8 0^{∘} + s i n^{2} 8 0^{∘}$

(1)、求出角 $C$ 的大小；

(2)、若角 $C$ 的平分线交边 $A B$ 于点 $D$ ，且 $c = 2$ ，求 $| C D |$ 的取值范围.

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20. 杭州亚运会最终确定延期至2023年9月23日至10月8日举行，某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100人的成绩整理成下表：
分数
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100)$
男
女
男
女
男
女
男
女
男
女
男
女
频率/组距
0.007
0.003
0.009
0.006
0.018
0.007
0.028
0.007
0.009
0.001
0.003
0.002

(1)、从不低于70分的学生中选出1人，如果他是男生，求该学生成绩在80分以上（含80分）的概率；

(2)、已知某生成绩低于70分，设该生成绩为 $X$ ，求他的成绩 $X$ 的分布列与期望；

(3)、假设 $M$ 表示事件“学校举办亚运知识培训”， $N$ 表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”， $P (M) > 0$ ，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明： $P (M ∣ N) > P (M ∣ \bar{N})$ .

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21. 在直角坐标平面内，已知 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足条件：直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之积等于 $\frac{1}{4}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $C (4 ， 0)$ 作直线 $l$ 交 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ 与 $B N$ 交点 $Q$ 是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + l n (x + 1)$ ，其中 $a \in R$ ，若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、设 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个极值点，求证： $x_{0} > \frac{1}{2}$ ；

(2)、求证： $x_{2} - x_{1} < 2 \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{a} - 1}$ .

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