浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - \sqrt{3} \leq x \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 5$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、-2 D、 $- 2 i$

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3. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 小时 B、 $\frac{7}{8}$ 小时 C、 $\frac{3}{4}$ 小时 D、 $\frac{2}{3}$ 小时

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4. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相互垂直，已知 $\vec{a} = (6 ， - 8)$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，且 $\vec{b}$ 与向量 $(1 ， 0)$ 的夹角是钝角，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 3 ， - 4)$ B、 $(4 ， 3)$ C、 $(- 4 ， 3)$ D、 $(- 4 ， - 3)$

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5. 定义运算： $| \begin{array}{l} a_{1} \\ a_{3} \end{array} \begin{array}{l} a_{2} \\ a_{4} \end{array} | = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ ，将函数 $f (x) = | \begin{array}{l} \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \begin{array}{l} c o s \frac{x}{2} \\ s i n \frac{x}{2} \end{array} |$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 的单位后，所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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6. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是

A、甲48枚，乙48枚 B、甲64枚，乙32枚 C、甲72枚，乙24枚 D、甲80枚，乙16枚

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7. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{| x |}{e^{x}}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - m f (x) - m + 1 = 0$ 恰有4个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 1 + \frac{1}{e})$ B、 $(1 - \frac{1}{e} ， 1)$ C、 $(1 ， \frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1})$ D、 $(\frac{e^{2} + 1}{e^{2} + e} ， 1)$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{3} = 7$ B、若 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，则 $a_{4} = 53$ C、若 $S_{n} = 3^{n} + \frac{1}{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{5} = \frac{1}{5}$

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10. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为DB的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $C_{1} B D$ 于点M，则下列结论正确的是（）

A、 $C_{1}$ ， M，O三点共线 B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ C、直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的为 $\frac{π}{6}$ D、直线 $A_{1} C$ 和直线 $B C_{1}$ 是共面直线

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11. 已知顶点在原点 $O$ 的抛物线 $x^{2} = 2 p y$ ， $(p > 0)$ ，过抛物线焦点 $F$ 的动直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，当直线 $l$ 垂直于 $y$ 轴时， $△ A B O$ 面积为8.下列结论正确的是（）

A、抛物线方程为 $x^{2} = 8 y$ . B、若 $A B = 12$ ，则 $A B$ 的中点到 $x$ 轴距离为4. C、 $△ A B O$ 有可能为直角三角形. D、 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为18.

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12. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 0)$ ，圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且仅有一个点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P O |$ ，则 $r$ 的取值可以为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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三、填空题

13. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{3} + a_{6} = 40 ， S_{2} = 10$ ，则 $a_{1} =$ .

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14. 写出一个满足下列条件的正弦型函数： $f (x) =$ .最小正周期是 $π$ ； $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；） $\forall x \in R$ ，都存在 $x_{0}$ 使得 $f (x) \leq f (x_{0}) = 2$ .

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15. 点 $F_{1}$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $F_{2}$ 为抛物线 $C$ 的对称轴与其准线的交点，过 $F_{2}$ 作抛物线 $C$ 的切线，切点为 $A$ ，若点 $A$ 恰好在以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为.

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16. 已知 $Δ E A B$ 所在平面与矩形 $A B C D$ 所在平面互相垂直，且满足 $E A = E B = 3 ， A D = 2 ， ∠ A E B = 60 °$ ，则多面体 $E - A B C D$ 的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b = \sqrt{5} ， c = \sqrt{2}$ ， ∠B＝45°．

(1)、求边BC的长以及三角形ABC的面积；

(2)、在边BC上取一点D，使得 $c o s ∠ A D B = \frac{4}{5}$ ，求tan∠DAC的值．

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18. 为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：

(1)、试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；

(2)、为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $1 + a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ n a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $B_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影恰好是点 $C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，且满足 $D A = D B$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、已知 $A C = 2 B C = 2$ ，直线 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $C - B D - C_{1}$ 的大小．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3 ， \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2 ， 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F} ， \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值；

(3)、在（2）的条件下，若点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点，求三角形 $Q A B$ 的面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{x} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有经过原点的切线，求 $a$ 的取值范围及切线的条数，并说明理由；

(3)、设函数 $g (x) = f (x) - x$ 的两个极值点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \leq (\frac{2 e}{e^{2} - 1}) a - 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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