浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）．

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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2. 平面向量 $\vec{a} = (1 ， x)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，那么 $x$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 平面上四点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ，满足 $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，那么下列关系成立的是（）

A、 $\vec{O C} = \frac{2}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B}$ B、 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ C、 $\vec{O C} = \frac{2}{3} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B}$ D、 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} - \frac{2}{3} \vec{O B}$

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4. 若 $m$ ， $n$ 是空间两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）

A、若 $α / / m$ ， $β / / m$ ，那么 $α / / β$ B、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，那么 $m / / n$ C、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / α$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 60 °$ ， $a = \sqrt{7}$ ， $c = 2$ ，那么 $b$ 的大小是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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6. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ，那么 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、 $(\sqrt{5} ， 2 \sqrt{5})$

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7. 如图扇形 $A O B$ 所在圆的圆心角大小为 $\frac{2 π}{3}$ ， $P$ 是扇形内部（包括边界）任意一点，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，那么 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $3$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 如图从半径为定值的圆形纸片 $O$ 上，以 $O$ 为圆心截取一个扇形 $A O B$ 卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5} π}{3}$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $π$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，一定有 $s i n A > s i n B$ B、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$ ，那么 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 C、一定有 $b c o s C + c c o s B = a$ 成立 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，那么 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

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10. 如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $C C_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点， $M$ 是线段 $D_{1} E$ 上的动点（包括端点），下列说法正确的是（）

A、对于任意 $M$ 点， $B_{1} M$ 与平面 $D F B$ 平行 B、存在 $M$ 点，使得 $A_{1} M$ 与平面 $D F B$ 平行 C、存在 $M$ 点，使得直线 $B_{1} M$ 与直线 $D F$ 平行 D、对于任意 $M$ 点，直线 $A_{1} M$ 与直线 $B F$ 异面

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11. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）

A、一定存在实数 $x$ ， $y$ 使得 $\vec{a} = x \vec{b} + y \vec{c}$ 成立 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，那么一定有 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ C、若 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，那么 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c} |$ D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ，那么 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 一定相互平行

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12. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点均位于一个半径为1的球的球面上，已知三棱柱的底面为锐角三角形， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $B C = 1$ ，那么该直三棱柱的体积可能是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = \frac{2 + 3 i}{1 - i}$ ，那么 $| z | =$ .

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14. 如图等腰梯形 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $C D = 3$ ，那么该梯形直观图的面积是.

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15. 平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，令 $\vec{c} = \vec{b} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{a}}^{2}} \vec{a}$ ，那么 $\vec{c}$ 就是一个与 $\vec{a}$ 配对组成正交基底的向量.若 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4)$ ，按照上述方法，可以得到的与 $\vec{a}$ 配对组成正交基底的向量是.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $| \vec{a} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{c} | = 1$ ，那么 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、已知 $1 - \sqrt{2} i$ ( $i$ 是虚数单位)是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ ( $m ， n \in R$ )的一个复根，求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、在复数范围内解方程： $x^{2} + x + 1 = 0$ .

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18. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{c} = t \vec{a} + \vec{b}$ （ $t \in R$ ）.

(1)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、若 $| \vec{c} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角大小.

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19. 如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边 $A B$ 长为 $18 m$ ，另一边 $A C$ 长为 $16 m$ ， $∠ B A C$ 大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在 $A B$ ， $A C$ 两边上分别找两点 $D$ ， $E$ ，修建一条的电动自行车道路 $D E$ ， $D E$ 需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.

(1)、若设 $A D = x$ ， $A E = y$ ，求 $x$ ， $y$ 满足的关系式；

(2)、如何选择 $D$ ， $E$ 可以使得所修道路最短？并求出最小值.

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20. 如图所求，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $F$ 为 $P A$ 的中点， $E$ 为 $P B$ 中点.

(1)、求证： $P C$ $∥$ 平面 $B F D$ ；

(2)、已知 $M$ 点在 $P D$ 上满足 $E C$ $∥$ 平面 $B F M$ ，求 $\frac{P M}{M D}$ 的值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s C + c o s A c o s B = \sqrt{3} c o s A s i n B$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的点，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = 2$ .

(1)、求角 $A$ 大小；

(2)、求三角形面积 $S$ 的最大值.

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22. 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形 $A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三个角大小为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，球的半径为 $R$ .

(1)、求证： $a + b > c$

(2)、①求球面三角形 $A B C$ 的面积 $S$ （用 $α$ ， $β$ ， $γ$ ， $R$ 表示）.
②证明： $α + β + γ > π$ .

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