浙江省9 1高中联盟2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 1} ， B = {y ∣ y \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + a i}{1 + 2 i}$ （其中 $i$ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 $a$ 的值是（）

A、-1 B、2 C、3 D、4

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3. $c o s 300 0^{∘}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知 $△ A B C$ 的斜二测画法的直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} = 4 ， B^{'} C^{'} = 3 ， ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 6 0^{∘}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ C、 $6 \sqrt{6}$ D、 $12 \sqrt{6}$

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5. 下列说法正确的是（）

A、以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的几何体是圆锥 B、以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥 C、将三棱锥展开后，所得平面图形一定不可能是正方形 D、任何直三棱柱都可以找到一个球，使得三棱柱的6个顶点都在该球面上

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6. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长为 $4$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}$ ，分别取 $A D ， A B ， A A_{1}$ 上的点 $M ， N ， E$ 使 $A M = A N = A E = 2$ ，以 $A$ 为圆心， $2$ 为半径分别在平面 $A B C D$ 和平面 $A B B_{1} A_{1}$ 内作弧 $M N ， N E$ ，并将两弧各六等分，等分点依次为 $M ， P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4} ， P_{5} ， N$ 以及 $N ， Q_{1} ， Q_{2} ， Q_{3} ， Q_{4} ， Q_{5} ， E$ ，一只蚂蚁欲从点 $P_{2}$ 出发，沿平行六面体表面爬行至 $Q_{4}$ ，则其爬行的最短距离为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

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7. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{e}$ 满足 $| \vec{e} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{e} = 1 ， | \vec{b} - 3 \vec{e} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 3)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3]$

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8. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R ， f (x + 3) + f (x) = 2$ ，且 $y = f (3 x - 1)$ 为偶函数，函数 $g (x)$ 满足 $g (x - 2) + g (- x) = 4$ ，对于 $\forall x \in [- 3 ， 1]$ ，均有 $f (x) + g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + x^{3}$ ，则 $\frac{g (1)}{f (2023)} =$ （）

A、 $- \frac{49}{43}$ B、 $- \frac{43}{49}$ C、 $\frac{65}{44}$ D、 $\frac{44}{65}$

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二、多选题

9. 以下四个命题中，真命题的是（）

A、不等式 $\frac{x}{x - 1} < 0$ 的解集为 $(0 ， 1)$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $a + \frac{1}{a} > 2$ ，则 $a > 1$ D、若 $1 < a < 2$ ， $- 1 < b < 0$ ，则 $2 a + b > b^{2}$

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10. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 3 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \sqrt{2}$ ，则（）

A、向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ 或 $13 5^{∘}$ B、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{3 \sqrt{2}}{8} \vec{a}$ C、在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，则该平行四边形的面积是 $6 \sqrt{2}$ D、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点．若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则该四边形是梯形

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11. 在复数范围内（ $i$ 是虚数单位），下列选项正确的是（）

A、关于 $x$ 的方程 $x^{3} = 1$ 的解为 $x = 1$ B、复数 $z = i^{2023} (2 + 3 i)$ 的虚部是 $- 2$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} = 3 + 4 i$ ，则 $| z | = \sqrt{5}$ D、已知 $a ， b \in R$ ，若 $i - a$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + 2 = 0$ 的一个根，则 $a = 1 ， b = 2$

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12. 如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， ∠ A B C = \frac{π}{2} ， A C = A A_{1} = 8$ 若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）

A、转动容器，当平面 $A A_{1} C_{1} C$ 水平放置时，容器内水面形成的截面为 $D E F G$ ，则 $D ， E ， F ， G$ 都是所在棱的中点 B、当底面 $A A_{1} C_{1} C$ 水平放置后，将容器绕着 $C C_{1}$ 转动（转动过程中 $C C_{1}$ 始终保持水平），有水的部分是棱柱 C、在翻滚､转动容器的过程中，有水的部分不可能是三棱锥 D、容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 $\frac{3 \sqrt{2}}{16 π}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量是．

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14. 山楂冰糖葫芦是将可近似为球的山楂外围裹上冰糖浆凝固制成的，假设山楂大小均匀，直径均约为3cm，外层冰糖层均匀裹在山楂上，厚度在0.5cm左右，若有 $1 L$ 的冰糖浆，则大约可制作颗冰糖葫芦（ $π$ 取3，最后结果精确到整数）．

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15. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 三内角 $A ， B ， C$ 的对边，且满足 $a s i n C + 2 a c o s^{2} \frac{C}{2} = a + b + c$ ，则 $△ A B C$ 的是三角形．（填三角形的形状特征）

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16. 已知 $△ A B C$ 是边长为6的正三角形， $\vec{A B} = 2 \vec{A M} ， \vec{C N} = - 2 \vec{A N}$ ，若点 $P$ 是 $△ A B C$ 边上的动点，则满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 15$ 的点 $P$ 有个．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 + t ， t) ， \vec{b} = (t ， 1)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $t$ 的值：

(2)、若 $| \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，求向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = c o s x c o s (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期及在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间：

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不同的实数根．求实数 $t$ 的取值范围．

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19. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2 ， P A = 4 ， M$ 是 $P B$ 上的点且 $P M = 2 M B ， N$ 是 $P D$ 的中点．求：

(1)、四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积；

(2)、三棱锥 $N - M C D$ 的体积．

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20. 如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车 $A ， B$ 在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车 $A$ 的仰角为 $α$ ，乙处观察缆车 $A$ 的仰角为 $β$ ，甲处观察缆车 $B$ 的仰角为 $θ$ ，乙处观察缆车 $B$ 的仰角为 $δ$ ．

(1)、求缆车 $A$ 相对甲乙所在水平面的高度；（结果用 $α ， β$ 表示）

(2)、若测得 $α = 6 0^{∘} ， β = 3 0^{∘} ， θ = 4 5^{∘} ， δ = 7 5^{∘}$ ，求缆车 $A ， B$ 之间的距离．

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) - m x$ 是偶函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $g (x) = 4^{f (x)}$ ， $a > 0$ ， $b \in R$ ，不等式 $b \cdot g^{2} (x) - | a \cdot g (x) - b | + a \geq 0$ 对任意 $x \in [- \frac{1}{2} ， 1]$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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22. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1 ， C D = 2 ， ∠ B D C = 3 0^{∘}$ ．

(1)、若在锐角 $△ A B D$ 中， $∠ A B D = 6 0^{∘}$ ，求 $△ A B D$ 周长的取值范围；

(2)、若 $A = 9 0^{∘} ， ∠ A D C = ∠ C$ ，求 $B C$ 的长．

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