浙江省9 1高中联盟2022-2023学年高二下学期数学期中试题

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A_{10}^{n} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$ ，则n的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 首项为 $- 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{10}}{S_{5}} = \frac{31}{32}$ ，则公比 $q$ 为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3 ， 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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4. 已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极大值，则实数c的值为（）

A、2 B、6 C、2或6 D、8

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5. 随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = n) = \frac{a}{n (n + 2)} (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，其中 $a$ 是常数，则 $P (\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{55}{68}$ B、 $\frac{55}{136}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 80}{n}$ 的最小值为（）

A、 $20 \sqrt{3} + 1$ B、 $40 \sqrt{3} + 1$ C、71 D、 $\frac{218}{83}$

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7. 若任意两个不等正实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m ， + \infty)$ ，满足 $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、1 C、e D、 $\frac{1}{e}$

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8. 某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（）

A、2080 B、2520 C、3375 D、3870

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二、多选题

9. 用 $0$ 到 $6$ 这 $7$ 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）

A、 $A_{6}^{3} + 2 A_{6}^{2}$ B、 $A_{6}^{1} A_{6}^{2}$ C、 $A_{7}^{3} - A_{6}^{2}$ D、 $A_{6}^{3} + A_{6}^{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的有（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，公差 $d > 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 单调递增 B、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，公比 $q > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 单调递增 C、若 $S_{n} = 3 - 2^{n} (n \in N_{+})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为公比为2的等比数列 D、若 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} (n \in N_{+})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列

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11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = s i n \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} s i n x$ ，则当 $x \in [0 ， 2 π]$ 时，函数 $f (x)$ 一定有（）

A、三个不同零点 B、在 $[0 ， π]$ 上单调递增 C、有极大值，且极大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、一条切线为 $y = x$

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12. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第 $k + 1$ 次从与第 $k$ 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第 $n$ 次取出的球是红球的概率为 $P_{n}$ ，数列 ${P_{n}}$ 前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{17}{32}$ B、 $4 P_{n + 2} + P_{n} = 5 P_{n + 1}$ C、当 $n$ 无限增大， $P_{n}$ 将趋近于 $\frac{3}{5}$ D、 $S_{n} = \frac{1}{6} [3 n + 1 - {(\frac{1}{4})}^{n}]$

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三、填空题

13. ${(x^{3} + \frac{a}{x})}^{6}$ 展开式中 $x^{6}$ 的系数为 $- 160$ ，则 $a =$ .

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14. 杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列 ${a_{n}}$ ，比如 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} = 4$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项之和为.

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15. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％.设从今年1月起（作为第一个月），第个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.
（参考数据： $1.0 5^{10} \approx 1.6$ ， $1.0 5^{11} \approx 1.7$ ， $1.0 5^{12} \approx 1.8$ ， $1.0 5^{13} \approx 1.9$ ）

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16. 已知函数 $f (x) = a l n x - 2 x (a \neq 0)$ ，若不等式 $x^{a} \geq 2 e^{2 x} f (x) + e^{2 x} c o s (f (x))$ 对 $x > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 2$ .

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18. 设函数 $f (x) = a^{2} x - 2 a \sqrt{x} - 2 l n x + 1 (a \neq 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

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19. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.

(1)、计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；

(2)、王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为 $X$ ，求n的值使得 $P (X = 1)$ 最大.

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20. 函数 $f (x) = l g \frac{20 - 10 x}{1 + x}$ ，数则 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (\frac{1}{2 n}) + f (\frac{2}{2 n}) + f (\frac{3}{2 n}) ⋯ + f (\frac{2 n - 1}{2 n})$ .

(1)、求证： $f (x) + f (1 - x)$ 为定值，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ \cdot S_{n}$ 对 $n \in N_{+}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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21. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 $\frac{1}{2}$ ，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.

(1)、若 $P (X = 5) = P (X = 95)$ ，求数学期望 $E (X)$ ；

(2)、接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数 $θ (0 < θ < 1)$ 的取值有关.团队A提出函数模型为 $p = l n (1 + θ) - \frac{2}{3} θ^{2}$ .团队B提出函数模型为 $p = \frac{1}{2} (1 - e^{- θ})$ .现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量 $X_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量 $X_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 的实验结果 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 绘制成频数分布图，如图所示.
（ⅰ）试写出事件“ $X_{1} = x_{1}$ ， $X_{2} = x_{2}$ ， …， $X_{10} = x_{10}$ ”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 $θ = θ_{0}$ 时使得概率 $P (X_{1} = x_{1} ， X_{2} = x_{2} ， ⋯ ， X_{10} = x_{10})$ 最大，称 $θ_{0}$ 是 $θ$ 的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出 $θ$ 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据： $l n \frac{3}{2} \approx 0.4065$ .

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{3} a x^{3} - a x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $x = 0$ 不是函数的极值点，求a的值；

(2)、当 $a < \frac{1}{2}$ ，若 $f (x)$ 有三个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} \in [3 l n 2 - 4 ， \frac{5 - 3 e}{e - 1}]$ ，求 $\frac{x_{3} + x_{2} + 2}{x_{3} + x_{1} + 2}$ 的取值范围.

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