四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{B A} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{0}$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} + s i n x$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = 2^{x} - c o s x$ B、 $f^{'} (x) = 2^{x} l n 2 - c o s x$ C、 $f^{'} (x) = 2^{x} + c o s x$ D、 $f^{'} (x) = 2^{x} l n 2 + c o s x$

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3. 若可导函数 $f (x)$ 满足 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} = 3$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (1 ， - 2 ， 4)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， 1 ， - 2)$ ，若直线 $l$ 与平面 $α$ 平行，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、10 D、-10

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5. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减，在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 1)$ 上单调递增，在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极大值，无极小值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取极大值，无极小值

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6. 若函数 $f (x) = x l n x$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线斜率为1，则 $x_{0} =$ （）

A、-e B、e C、-1 D、1

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $e^{x} - x - a > 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(e ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0]$

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8. 已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为 $2$ ，若 $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 的中点，则线段 $M N$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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9. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若函数 $f (x) = x^{2} - a x + l n x$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $0 < a < 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$ C、 $a < - 2 \sqrt{2}$ 或 $a > 2 \sqrt{2}$ D、 $a > 2 \sqrt{2}$

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11. 如图，半径为1的球 $O$ 是圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的内切球，线段 $A B$ 是球 $O$ 的一条直径，点 $P$ 是圆柱 $O_{1} O_{2}$ 表面上的动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， \sqrt{3}]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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12. 若关于 $x$ 的不等式 $k (x^{2} + 2 x) \leq l n x + 1$ 的解集中恰有 $2$ 个整数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{3} < k \leq 1$ B、 $\frac{l n 2 + 1}{8} < k \leq \frac{1}{3}$ C、 $\frac{l n 3 + 1}{15} < k \leq \frac{l n 2 + 1}{8}$ D、 $\frac{l n 4 + 1}{24} < k \leq \frac{l n 3 + 1}{15}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{O A} = (- 2 ， 1 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (1 ， - 2 ， 4)$ ，则 $\vec{A B} =$ ．

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14. $\int_{- 1}^{1} (2 x + 1) d x =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = k x - c o s x$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递减，则 $k$ 的取值范围是．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，若空间中的动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + ν \vec{A A_{1}}$ ， $λ ， μ ， ν \in [0 ， 1]$ ，则下列命题正确的是．（请用正确命题的序号作答）
①若 $λ = μ = ν = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；
②若 $λ = μ = ν = \frac{1}{2}$ ，则二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $\frac{π}{4}$ ；
③若 $λ + μ + ν = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $P - B D A_{1}$ 的体积为 $2$ ；
④若 $λ + μ - ν = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹构成的平面图形的面积为 $3 \sqrt{3}$ ．

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三、解答题

17. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (λ + 4 ， - λ ， λ)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求 $λ$ ；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 相互垂直，求 $k$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + \frac{5}{3}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数在区间 $[- 1 ， 4]$ 的最大值与最小值．

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{3} A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、证明：平面 $A_{1} D C_{1} ⊥$ 平面 $A D C$ ．

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20. 制作一个容积为 $V$ 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为 $r$ ．

(1)、把该容器外表面积 $S$ 表示为关于底面半径 $r$ 的函数；

(2)、求 $r$ 的值，使得外表面积 $S$ 最小．

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21. 在如图①所示的长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $E$ 是 $D C$ 上的点且满足 $D C = 3 E C$ ，现将三角形 $A D E$ 沿 $A E$ 翻折至平面 $A P E ⊥$ 平面 $A B C D$ （如图②），设平面 $P A E$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、求二面角 $B - l - A$ 的余弦值；

(2)、求 $l$ 与平面 $A B C E$ 所成角的正弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1)$ ， $g (x) = e^{x} f (x)$ ．

(1)、求函数 $g (x)$ 的导函数在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、证明： $\forall a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，有 $g (a + b) > g (a) + g (b)$ ．

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