广西壮族自治区玉林市北流市2022-2023学年高一下学期数学期中四校联考质量评价检测试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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2. 已知向量 $\vec{a} = (5 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 6)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-2 B、-3 C、-4 D、-5

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3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）

A、两条相交直线确定一个平面 B、两条平行直线确定一个平面 C、四点确定一个平面 D、直线及直线外一点确定一个平面

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4. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ ，则它的最大内角的度数是（）

A、90° B、135° C、120° D、150°

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5. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 $8 π$ ，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（）

A、 $25 π$ B、75 C、 $5 \sqrt{5} π$ D、 $16 π$

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6. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为3的正三角形，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，一小虫从点A途经三个侧面爬到点 $A_{1}$ ，则小虫爬行的最短距离为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{97}$ D、 $\sqrt{153}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，已知 $c o s A c o s B \geq s i n A s i n B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形或钝角三角形

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8. 如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为 $60 °$ ，再由点C沿北偏东 $30 °$ 方向走10m到位置D，测得 $∠ B D C = 45 °$ ，则铁塔AB的高为

A、 $30 + 10 \sqrt{3}$ B、 $30 - 10 \sqrt{3}$ C、 $10 + \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ D、 $10 - \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 若复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，且满足 $| z - 4 i | = | z + 2 |$ ，则 $x ， y$ 的值可为（）

A、 $x = y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2} ， y = 1$ C、 $x = 1 ， y = \frac{1}{2}$ D、 $x = 2 ， y = \frac{1}{2}$

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10. (多选题)如图，ABCDA₁B₁C₁D₁是长方体，O是B₁D₁的中点，直线A₁C交平面AB₁D₁于点M，则下列结论正确的是（）

A、A，M，O三点共线 B、A，M，O，A₁四点共面 C、A，O，C，M四点共面 D、B，B₁ ， O，M四点共面

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11. 水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示，其中 $B^{^{'}} O^{^{'}} = C^{^{'}} O^{^{'}} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么原 $△ A B C$ 是一个（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、三边互不相等的三角形 D、面积为 $\sqrt{3}$ 的三角形

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、 $a = 5 ， b = 7 ， c = 8$ ，有唯一解 B、 $b = 18 ， c = 20 ， B = 60 °$ ，无解 C、 $a = 8 ， b = 8 \sqrt{2} ， B = 45 °$ ，有两解 D、 $a = 30 ， b = 25 ， A = 150 °$ ，有唯一解

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三、填空题

13. 在△ABC中，若BC=3，AC=2，A=60°，则sinB = .

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14. 一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为.

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15. 已知 $A (- 1 ， 2)$ ，若点A、B的中点坐标为 $(1 ， 1)$ ，且 $\vec{A B}$ 与 $\vec{a} = (1 ， λ)$ 共线，则 $λ =$ ．

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16. 图中小正方形的边长为1，一个四边形的直观图为如图所示的四边形 $A B C D$ ，则该四边形的平面图形的面积为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = 2$ ， $z^{2} = - 2 i$ ．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、求复数 $z^{4}$ 的实部和虚部．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， t)$ ，若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $3 b s i n A = 5 a s i n B c o s C$ .

(1)、求 $c o s C$ 的值

(2)、若 $B = \frac{π}{4}$ ，求 $\frac{a}{c}$ 的值.

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20. 某长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为3cm，3cm， $\sqrt{7} c m$ ．

(1)、求该长方体的外接球的体积和表面积；

(2)、如图，将此长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求剩下的几何体的体积．

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21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， D为AC边上的一点， $B D = 1$ ，且______________，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）

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22. 如图所示， $A D$ 是△ABC的一条中线，点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线分别与射线 $A B$ ，射线 $A C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，求 $λ ， μ$ 的值；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

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