广西玉林市2022-2023学年高二下学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知两条直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y + 6 = 0$ ， $l_{2} ： 3 x - 4 y - 4 = 0$ ，则这两条直线之间的距离为（）

A、2 B、3 C、5 D、10

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2. 函数 $f (x) = x^{2} - 4 l n x + 2 x - 3$ 的单调递减区间是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 2)$ 和 $(1 ， + \infty)$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ，$ 若 $a_{6} ， a_{8}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 的两根，则 $S_{13} =$ （）

A、39 B、52 C、45 D、72

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4. 已知圆心为 $(- 2 ， 3)$ 的圆与直线 $x - y + 1 = 0$ 相切，则该圆的标准方程是（）

A、 $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 8$ B、 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 8$ C、 $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 18$ D、 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 18$

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5. 2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　）

A、0.48 B、0.6 C、0.75 D、0.8

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6. 设随机变量 $X ∼ B (2 ， p)$ ， $Y \sim B (4 ， p)$ ，若 $P (X \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则 $D (Y) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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7. 已知直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若 $| O N | = 3 | O M |$ ，则p=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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8. 设 $a = e$ ， $b = \frac{3}{l n 3}$ ， $c = \frac{e^{2}}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 点 $P$ 在圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为3 B、 $| P Q |$ 的最大值为7 C、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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10. 已知 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的二项式系数和为 $128$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $n = 7$ B、展开式中各项系数的和为 $1$ C、展开式中第 $4$ 项的系数为 $35$ D、展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为 $672$

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11. （多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（）

A、a，b，c依次成公比为2的等比数列 B、a，b，c依次成公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列 C、 $a = \frac{100}{7}$ D、 $c = \frac{50}{7}$

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12. 函数 $f (x) = e^{x} (1 - 3 x) + a x - a$ ，其中 $a < 1$ ，若有且只有一个整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > 0$ ，则 $a$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{3}{4}$

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三、填空题

13. 已知直线x-y-1=0和圆（x-1）²+y²=1交于A，B两点，则|AB|= ．

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14. 已知随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (2 < X < 6) = 0.6$ ， $P (X \geq 6) = 0.2$ ，则 $μ =$ ．

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15. 将4个不同的小球a，b，c，d全部放入甲、乙、丙3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，则小球a不放入甲盒子的放法种数为.

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，直线l： $y = \sqrt{3} x$ 与双曲线C交于A，B两点，若 $A F ⊥ A B$ ，则双曲线C的离心率是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D = 2 ， Q D = Q A = \sqrt{5} ， Q C = 3$ ．

(1)、证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - Q D - A$ 的平面角的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $(a_{n + 1} - 3) \cdot (a_{n} + 1) + 4 = 0$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 是等差数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{2^{n + 1}}{a_{n} - 1}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和.

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20. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率， $s ， t \in N^{*}$ ）.
每天下午6点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10
$s$
$t$
5

(1)、在接下来的2天中，设 $X$ 为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求 $s$ 的最小值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长是短轴长的2倍，且过点 $Q (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 作斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于两点A，B试问：在x轴上是否存在一定点M，使得直线AM和BM关于x轴对称？若存在，求出这个定点坐标；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x + x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x) < e^{x}$ ．

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每天下午6点前的销售量/千克	250	300	350	400	450
天数	10	10	$s$	$t$	5