广东省梅州市2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{3} + 1$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的平均变化率为（）

A、1 B、2 C、7 D、9

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2. 某校为了丰富课后服务活动，提高学校办学水平和教育质量，开设近20门选修课供学生自愿选择.甲、乙2名同学都对其中的合唱、足球、篮球、机器人课程感兴趣，若这2名同学从这4门课程中各自任选一门课程参加，则不同的选法有（）

A、4种 B、6种 C、8种 D、16种

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3. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{3})$ B、 $f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{1})$ C、 $f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{1})$ D、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{2})$

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4. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - x$ ，则在下列区间上， $f (x)$ 单调递增的是（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{π}{6})$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ D、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$

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5. 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）

A、1080种 B、720种 C、660种 D、600种

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6. 已知直线 $x = a (a > 0)$ 与函数 $f (x) = \frac{16}{x}$ ， $g (x) = - x^{2}$ 的图象分别交于点 $A$ ， $B$ ，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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7. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行.本届世界杯的赛制规定：从小组赛晋级的16支球队将被自动分成8组，每组的2支球队比赛一场，获胜的球队晋级1/4决赛.若从小组赛晋级的16支球队中选出4支球队，且恰有2支球队来自同一组，则不同的选择方法有（）

A、672种 B、728种 C、764种 D、800种

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8. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $S A = B C = 2$ ， $S B = A C = \sqrt{7}$ ， $S C = A B = \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的体积是（）

A、 $\frac{8}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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二、多选题

9. 已知 ${(3 - 2 x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{9} x^{9}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 3^{9}$ B、 $a_{1} = - 2 \times 3^{10}$ C、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{9} = 2^{9}$ D、展开式中所有项的二项式系数的和为 $2^{9}$

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10. 由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（）

A、可以组成18个不同的数 B、可以组成8个奇数 C、可以组成12个偶数 D、若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\forall a ， b ， c ， d \in R$ ，方程 $f (x) = 0$ 有解 B、若 $a < 0$ ，且 $f (x)$ 有极小值点 $x_{0}$ ，则 $f (x)$ 在 $(- \infty ， x_{0})$ 上单调递减 C、若 $a \neq 0$ 且 $b^{2} > 3 a c$ ，则 $f (x)$ 存在极大值和极小值 D、若 $a \neq 0$ ，则 $f (x)$ 的图象是中心对称图形

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12. 已知 $a = \frac{\sqrt{3}}{2 e}$ ， $b = l n (1 + \frac{3}{4 e})$ ， $c = \frac{l n (1 + e)}{2}$ ， $d = e^{2} - 2 e$ ，则（）

A、 $d > a > c$ B、 $c > a > b$ C、 $d > a > b$ D、 $c > b > d$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} + 2 f^{'} (1) x$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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14. 甲、乙、丙、丁四位同学约好周末去某公园游玩，准备当天在公园门口集合后一起入园游玩，假设这四位同学没有同时到达的情况，则他们先后到达的情况有种.

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15. 一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6 cm，铁块底面圆半径为3 cm，放入铁块后的水面高度为6 cm，若从 $t = 0 s$ 时刻开始，将铁块以1 cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将（填“匀速”或“非匀速”）下降；在 $t = 3 s$ 时刻，水面下降的速度为 cm/s．

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16. 广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点 $M$ 处测得广州国际金融中心大楼顶端 $P$ 处的仰角为 $\frac{π}{6}$ ，在点 $N$ 处测得广州国际金融中心大楼顶端 $P$ 处的仰角为 $\frac{π}{4}$ ，在点 $Q$ 处测得广州国际金融中心大楼顶端 $P$ 处的仰角为 $\frac{π}{3}$ ，其中 $M$ ， $N$ ， $Q$ 三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知 $M N = N Q = 145 \sqrt{6}$ 米，则广州国际金融中心大楼的高度为米.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{4} = a_{5} + 3$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $3 a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的值域.

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19. 从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.

(1)、若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？

(2)、若填入的5个数字中有1和3，且区域 $A$ ， $B$ ， $C$ 中有奇数，试问不同的填法有多少种？

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{x^{3}}{6} + a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点和右焦点都在直线 $y = - x + 1$ 上.

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $y = k x - k$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $P (\frac{1}{4} ， 0)$ ， $| P A | = | P B |$ ，求 $k$ 的值.

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22. 定义：若函数 $y = f (x)$ 在定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + k) = f (x_{0}) + f (k)$ 成立，其中 $k$ 为大于0的常数，则称点 $(x_{0} ， k)$ 为函数 $f (x)$ 的 $k$ 级“平移点”.

(1)、判断函数 $g (x) = x l n (x + 1)$ 的2级“平移点”的个数，并求出2级“平移点”；

(2)、若函数 $h (x) = a x^{2} + x l n x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上存在1级“平移点”，求实数 $a$ 的取值范围.

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